中学生问我一道题，中学老师告诉我没见过这样的题！

? ? 经常有朋友在公众号问我问题，不回答似乎显得不礼貌，但平时的确太忙，如果没时间回答，还望多多海涵！而且我对有些题并不那么熟悉，尤其是一些竞赛题，恐怕花费很长时间还未必做得出来。我倒是更希望有思想、观点方面的交流，而不是解题方面的问题。

? ? ?有一个自称中学生的朋友问了我一道题，先看看题

? ? 我看到这道题的第一反应是：命题人是不是那“流浪大师？”为什么会有这样的反应？因为命题人知识太广博，一般人理解不了。一般人会认为，根据地点只能判断对方在不在射程内，决定命中率的是炮手的技术。其次，炮手的技术不会因为地点发生变化而有所改变。当然，可以勉强解释为由于地形的原因不能准确命中。但我方又是如何得知敌方在不同地点的命中率以及敌方可能在哪里炮击的概率呢？测试？估算还是经验？

? ? 倒是听说过概率统计用于战争的案例，例如在二次大战期间，数学家们根据德军投放各地的兵力估算出德军的总兵力，据说与后来解密的数据非常吻合。但像这道题事先知道对方炮弹命中的概率有些令人难以理解，或许我的脑袋太古板，缺少想象力。一般情况下，这类问题都是通过统计方法进行推断，不过既然将所有相关的概率都告诉我们了，统计也就没有了用武之地，我们不妨“将题就题”，稀里糊涂地解一解吧。

? ?假设a_i表示第i次命中，第一问应该是计算条件概率，由P(A|a_1)=P(Aa_1)/P(a_1),再用全概率公式计算一下P(a_1)就不难得到答案了。

? ? 第二问是要求计算P(A|a_1...a_5)，方法似乎与第一问类似。

? ? ?我并未见过中学教材中出现过这样的问题，询问中学教师，他们也说中学没有这样的问题。即使在大学，这样的问题也有些莫名其妙。

? ? 还有一朋友问了一个概率题，见图中的16题

一看便知又是贝特朗问题的变种，但只要遵循目标决定样本空间的原则，解答就不会出现歧义。这道题里，样本点显然是弦长，所以等可能性应该针对弦长设定，而弦是在过（-1，0）的射线上，所以射线是等可能的，即角度是等可能的。朋友问，该用倾斜角算还是斜率算？两者都可以，但只要等可能性假设没有变化，结果是一样的，这里用角度算自然简洁一些。

? ? 另有人问：“运算性质与运算法则有什么不同？”两者差别很大，运算性质指的是运算的内在特征，运算法则指的是运算的方法与途径。