原来还有学时更少的。

? ?原本想把统计班的实变函数也安排给我教，但我教的班已经有近百人，全年级的实变函数课在时间上又不一致，实在感到力所难及，便推辞了。今天听接课的老师说起，才知道统计班总共48学时，包括实变函数与泛函分析两门课。我闻听之下庆幸自己当初没接这门课，24学时的实变函数+24学时的泛函分析，我实在不知道该如何上！年轻人更富有创造力，或许他们有好的办法。?

? ?32学时的课已经感到很费劲，我尝试着换一种方式力图让学生领会实变函数的思想方法，虽然学生的作业看上去完成得还不错，但大部分同学听课显然有些吃力，我并不清楚他们到底领会了多少，更无法保证他们课后能花足够的时间看书，毕竟要学习的课程很多，不过我坚信我走的路是对的。如果有更多的课时，我也是在目前的基础上细化，会对更多的证明做更详尽的分析。

? ? 我在努力尝试一种无论是多学时还是少学时都适用的新模式，学时不同带来的只是细节上的差别。这就是把每一章当成一个课题来研究，围绕着每一章出现的概念与定理力图重现促使其产生的根源。例如在可测函数章节，由于勒贝格积分的定义中出现了形如E{x|c<f(x)<=d}的集合，讨论这些集合的可测性就成了一件自然的事。由此可见，在课程的开篇宏观上介绍一下勒贝格积分理论的来龙去脉是必要的，这为后续各章节的讨论提供了逻辑基础。有了合适的定义，首先需要做的事便是概念的辨析，可测函数与我们熟悉的函数是什么关系？考察这个问题有两个角度，一个角度是来自微积分的连续函数，这正是该章后半部分需要研究的问题，另一个角度则是基于函数与集合的关系，从这个角度研究时首先需要将黎曼积分的大和、小和转换成实变函数的语言重新表述，即将分割区间得到的和看成小区间对应特征函数的线性组合（分段函数）的积分，这是理解可测函数是简单函数极限的基础，也是理解后续介绍的勒贝格积分为什么可以有两种定义方式以及两种方式为什么等价的基础。

? ? 可测函数章节最为精彩的定理有两个，一个是其思想方法贯穿了实变函数始终的叶果洛夫定理，另一个则是沟通微积分与实变函数关系的桥梁——鲁津定理。这两个定理无论是对于实变函数还是后续的相关课程乃至未来的研究都是很重要的，学生如果理解了这两个定理的深刻思想与意义，掌握了其基本方法与技巧，相信学习实变函数再也不是一件令人忧伤的事了！