双曲线的准线(圆锥曲线的焦点准线性质)

双曲线的准线
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我们知道，到两个定点的距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆；到一个定点和到一条定直线的距离相等的点的轨迹是抛物线；到两个定点的距离之差等于常数的点的轨迹是双曲线。椭圆、抛物线和双曲线都是圆锥曲线，也就是说，它们都可以通过用平面截圆锥而得到。为什么用平面截圆锥所得交线是椭圆、抛物线或双曲线，这个以前都讲过，这里不再介绍了，只给出下面的图形。

我们还知道，在解析几何中，圆锥曲线的定义可以用统一的焦点、准线语言来描述。即：一个动点，它到一个定点的距离与它到一条定直线的距离之比，如果小于1，则这个动点的运动轨迹是椭圆；如果等于1，则运动轨迹是抛物线；如果大于1，则运动轨迹是双曲线。其中的定点叫做焦点，定直线叫做准线。因为是圆锥曲线，即圆锥被平面所截所得的曲线，所以，我们也可以在空间中把这个定义生动地展示出来。请继续往下看。

（0）预备知识。平面外一点到平面所引斜线的长度与这条斜线和平面的夹角的正弦正反比。设从平面外一点向平面所引两条斜线的长度为a和b，它们与平面的夹角相应地分别为α和β，则有反比例关系：
a  ：b  =  sin β ：sin α 
用图形来表示，这个知识是很显然的。如下图所示，斜线、斜线在平面上的投影及垂线，三者构成一个直角三角形。垂线也就是高是三角形的一条直角边，且是斜线与平面夹角的对边。高h是不变的，但它等于斜边乘以夹角的正弦。斜边与夹角的正弦这两个量的乘积是一个定值，所以，这两个量一定成反比。斜线越斜（陡），它与平面的夹角越小（大），角的正弦值也越小（大），而越斜（陡）的斜线，其长度越长（短）。

（1）我们下面分别来研究三种圆锥曲线：椭圆、抛物线和双曲线。先来讨论抛物线。如下图所示。有一个截平面（蓝色），它与圆锥的某条母线（离截面最远的）平行（图中c所在的母线）。在这个截平面与锥顶之间夹有一个球，球不仅与截平面相切，还必须紧靠锥顶，与圆锥面相切。截平面与球相切的点为A。球与锥面相切，切点不只一个而是很多，切点构成一个圆（图中红色）。过这个圆作一个平面（红色），它与截平面的交线为直线l 。只要截平面不变，切点A及交线l也就不变（即定点和定直线）。如下图所示。

截平面与圆锥交出一条曲线L。在L上任取一点B，设它到定点A的距离为a。过点B的母线与球和锥面的交线（图中红色圆）交于点C，设BC的长度为b。a和b都是由点B到球的切线，所以相等，即a=b。过红色圆的平面与过绿色圆的截面（也与锥轴垂线）把圆锥截出一个圆台，所以图中线段c=b，其中c为与截平面平行的母线。d为点B到直线l所作的垂线长度。

设圆台母线c与水平面（为叙述方面，假设锥轴与水平面垂直）的夹角为α，截平面与水平面的夹角为β。所以有α=β。因为圆台母线c和b与水平面夹角相等，c和d与水平面的夹角也相等（α=β），所以，b和d与水平面的夹角就相等。b和d有公共点B，且它们的另一端点都位于同一水平面（红色）上，所以，这两条线段的长度相等，即b=d。又因为a=b，所以，最终有a=d。也就是说，截线（蓝色）上的点到一个定点（点A）的距离等于它到一条定直线（l）的距离。这就是解析几何中抛物线的定义。本文开始时所说的椭圆、抛物线和双曲线的传统定义中，只有抛物线是用焦点和准线的语言描述的。

（2）再来看椭圆的情况。如下图所示，一截平面q（图中蓝色）截圆锥。在截平面与锥顶之间有一球，球与截平面交于点F，球与锥面相切，切点构成一个圆m（图中红色）。过圆m作一平面p，它与截平面q交于一直线l。只要截平面q不变，则球的大小的位置也就不变，从而球与锥相切出来的圆m也不变，最终切点F及交线l都不变（即定点和定直线）。

截平面q与锥面交出一条曲线（图中蓝色）。我们在其上取一点A，并作出过点A与圆m平行的圆n。（为叙述方便，仍然假设锥轴与水平面垂直。） 于是，在圆m与圆n之间形成一个圆台。a为圆台的一条母线（是圆锥母线的一部分），它与小球相切。AF即d是从点A发出的小球的另一切线，当然有a=d。另外，圆台母线c=a；所以，c=d。设母线与平面p的夹角为α。又设平面p与q的夹角为β 。因为平面q与所有母线都相交，所以，α>β，也就是sinα>sinβ。上图中，线段a与线段c与平面p的夹角是相等的（因为它们都是圆台的母线）。线段a与线段b都是从点A发出的到平面p的斜线段，这样的两条斜线段的长度与它们和平面p的夹角的正弦值成反比（前面预备知识讲过）。所以，由sinα>sinβ，得出a<b。

前面已经得出a=d，所以，d<b。也就是说，截线（蓝色）上的任意一点到某定点（即F）的距离都小于它到一条直线（即l）的距离。我们知道，与锥轴之间夹角小于母线与锥轴交角的截面必定与锥面交出一个椭圆（证明见以前的文章），于是，这里，我们就可以说，到一个定点的距离小于它到一条定直线的距离的点的轨迹是椭圆。这个定点为椭圆的焦点之一。所以，我们也就像在抛物线情况那样，把椭圆用焦点、准线的语言进行定义。在刚才抛物线的情况，抛物线上的点到定点的距离与它到定直线的距离的比值等于1。而在这里椭圆的情况下，相应距离之比值小于1。我们可以同样地画出双曲线的情况下圆锥被截图形，可以发现，在双曲线的情况下，相应距离的比值大于1。这里就不具体阐述了，只给出类似的图形，如下图所示。

想一想，准线l在哪里。您只需考察双锥的下半锥，相应地只需考察双曲线的下半支。上图其实是用来说明双曲线的直观定义的，即到两定点的距离之差等于定长的点的轨迹是双曲线。

上面三种情况中，比值就是离心率e。上面所述这一天才的解释是在大约19世纪上半叶由两位比利时数学家A·盖特莱和G·唐台朗发明的。

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