0到底是不是自然数？（从自然数到超复数）

0到底是不是自然数？
昨天发的时候忘记点原创了，只好删了今天重发吧。。。
前几天，Vita哥哥问了一个问题：小数到底是有理数还是无理数？
这个问题不难回答：无限不循环小数是无理数，其他的小数都是有理数，因为有理数指的是可以写成两个整数之比（分数）的数。
为了更好地展现“数”的全貌，我翻出了这张经典的图：
数的全貌（来自维基百科）
这张图很直观地描述了数的概念是如何一步一步扩展的：
一开始我们有自然数N
加上负整数之后就是整数Z
再加上分数之后就是有理数Q
再加上无理数之后就是实数R
再加上虚数之后就是复数C
不过，刚讲到自然数，我就有点吃不准了：0到底是不是自然数？
我记得我们小时候的数学教材说自然数是不包括0的，但是这张图上自然数是包括0的。我问了一下Vita哥哥学校里现在有没有讲过这个定义？他说还没有。嗯，也对，一年级似乎是不会讲这个的……我查了一些新闻资料，2000年之前，我们几乎所有的小学课本里面都说0不是自然数，最小的自然数是1。
这是《十万个为什么》里面的配图
所谓“自然数”，就是人类最早计数时使用的数。
东西是一个一个数的，所以就是1、2、3……至于0，无论是罗马、希腊、埃及、巴比伦，甚至是汉字，在计数时原本都没有0，因为没有东西就说“没有”就好了，人们并不认为这是一个数字。
到了后来，印度人发明了完整的十进制计数法，就可以写出像10、100这样的数了。尽管这些数里面有0，但是它只不过被当成是一种“占位符”来使用，换句话说，就单独一个0，人们还是没觉得它有什么意义。
再后来，到公元600多年，印度数学家婆罗摩笈多才真正提出了的0的概念。不过，他之所以需要0，很大程度上是因为他需要把数扩展到负数，一旦扩展到负数，就不得不规定一个0作为正数和负数的分界点。
0是数轴上正数和负数的分界点
所以，一直以来，数学家普遍认为，0的必要性是伴随负数才出现的，如果我们只是数东西的个数，不研究负数的话，根本不需要0这个玩意儿，所以最朴素的“自然数”里面不应该包括0——我们这一代人，小时候也都是这样学的，也就是说，最小的自然数是1。
然而，现在情况又不一样了。
2000年左右，全国进行过一次教材的修订，绝大部分版本的教材都把0算作自然数了，这个说法一直沿用到现在。例如，人教版《数学》小学四年级上册是这样写的：
沪教版《数学》五年级下册是这样写的：
所以，不是我们记错了，也不是我们小时候没学好，而是我们跟娃在这个问题上确实有了“代沟”。
人类的知识总是在更新的，我们小时候的九大行星现在不是也变成了八大行星。但是数学这个东西一直还是比较稳定的，一般不大会改来改去的，那么0是不是自然数这个问题为什么会改呢？
其实，长期以来，0是不是自然数这个问题都是有争议的。
一种观点认为，0作为一个数字来使用，是跟随负数一起出现的，比正整数的使用要晚很多很多，所以0应该跟负整数站一队，而自然数应该只有正整数。
另一种观点则认为，从本质来看0和正整数更相似，而且在很多领域（如集合、逻辑以及计算机科学等）中，把0和正整数放在一起更方便。举个例子，集合里面0代表空集，一个集合可以是空的（有0个元素），也可以有1个、2个、3个……元素，但不能有负数个元素；在计算机中，0和正整数采用的是同一种表示方法，而表示负整数则需要取反补码（参见【计算机到底怎么表示负数？二进制加法器的最后一课】）。
Vita哥哥也提供了他的一个观点，他说0和正数一样都可以开平方，而负数则不能开平方，除非借助i（虚数），所以0应该跟正数放在一起。
哈哈，我觉得他说的很有道理，你们觉得呢？
这两天他在研究负数开平方的问题……
（-8两边应该有括号，哈哈）
一直这么争下去也不是个事儿，特别是随着全球化的发展，什么事儿都得有个标准才行，这就是国际标准化组织（ISO）的工作了。1992年，ISO发布了国际标准ISO 31:1992，其中对数学标志与符号的写法和含义做出了明确的规定。
在这个标准中，对自然数N的定义是“自然数集，正整数和0的集（the set of natural numbers, the set of positive integers and zero）”，注释中还给出了例子：
ISO 80000-2:2009中关于自然数N的定义
（ISO 80000是目前用于代替ISO 31的标准编号）既然国际标准都出来了，我们的国家标准也得跟上啊。于是，1993年我们出了个国家标准GB 3102:93，这还是个强制性标准，里面是这么写的：
GB3102.11-93中关于自然数N的定义
显然，这个定义就是照搬了ISO，这很正常，与国际接轨嘛。
既然国标都出来了，我们的小学教材跟国标不一样那好像有点说不过去，于是教材也就跟着国标改成现在这个样子了。
所以一定要记住，现在你娃学的教材里，0是自然数。如果考试问你“最小的自然数是几？”，记得回答0而不是1哦。
虽然ISO和国标都有明确的规定，但并不是所有人都熟悉这些标准，所以为了避免歧义，那干脆我们别用“自然数”这个词儿了吧，干嘛非得纠结这个词儿呢？
如果你不想包括0，那就说“正整数”
如果你想包括0，那就说“非负整数”
这样最清楚了，是不是？

从自然数到超复数
一，自然数
“1，2，3，4，5，6，7，8，9，十” 这是幼儿园学前班小朋友在父母，爷爷奶奶的陪伴下最早接触的数学概念。我们家囡囡会数到十了，这是挺高兴的。一般大伙都有十个手指，扳手指头数数往往是绝大多数孩子的数学启蒙，而且都会非常成功。
我想谈的是接下来11，12，13，...，21，22，23，...99，100这段的认知过程。其实不同小孩的差异是非常大的。有些孩子是很难一下子接受“进位”的概念的。
个人认为比较科学的口头数数方法是，0，1，2，3，4，5，6，7，8，9; 10（读作一十），20，30，40，50，60，70，80，90; 100，200，...900;1000，2000，...
细化到具体书写操作。
在本子上从0～9写在第一行，发现10已经写不下了，必须换一行来写然后把10～19写到第二行，直到一页10行全部写满到99，就得翻页。
再在页码上开始标注1，百位数，第一个字从100开始，整页写完到199，重复写完10页看作一本本子结束999。
再拿一本新本子上面标注1，千位数，第一页第一行第一个数字从1000开始，写完10本本子就到9999了。
写完十本装一马甲袋...
这样比较系统地学习和理解数自然数的方法，对打好数学基础是非常有用的。我曾经用这种方法书写到1万，过程受益匪浅，这对我后来认知几何维度，线性空间，数组，矩阵向量等，都有着非常大的帮助！
讲几条：
0是一个自然数，Peano公理的第一条就明确说明了。
一长串数不利于记忆和书写，换行，拐弯，进位是一种非凡的创举。
十进制是目前最通用的一种进制。
半斤八两就是十六进制的一种描述。
戊戌年是60进制下的一种说法。
世界上有10种人，一种是看得懂二进制的，另一种是看不懂的。
二，整数
讲完自然数，到负整数只是数轴上作了一个对称，用负数来表征一个相反的概念。其应用大概就是：我欠银行100万钱的时候可以向别人声称我有-100万的现金在手。
对小孩的教育实际上也很简单，那天我无意中发现连我小女儿也知道3-5=-2的。也许是姐姐派啥时候教她的吧！
记得自己小时候一直牢记老师的教诲的，小的数是不能减大的数的，别问为什么，就是不能。后来也只是从大孩子的炫耀中得知1-2是可以操作的。
曾经对负数有个直观的反感。1:(-1)=(-1):1 。一个大的数比上一个小的数可以等于小的数比上大的数？？
三，有理数
如果说负数可以认为是强行非要用小学老师不允许的小的数减大的数来的话，那么小数则是对于除法除不尽的数强行除出来的一种答案。
到小学中年级后，都会涉及到除法。那天叫派吃晚饭，她说还有最后一道题目做完，我一看大概是求全班二十几个人的平均身高。她摁了两轮计算器求和再除以人数都觉得不对。我问她怎么知道不对的？
她答曰：
1. 平均值160多cm，比这里面的所有的都高。怎么可能？
2. 除不尽！我们还没教，出的题肯定都是能整除的。
- 从分析能力上讲，为父很欣慰。多角度，有逻辑。
- 从捉急的摁计算器动作协调性和粗犷的坐姿来说，实在难以恭维。
我只是让她仔细点再摁一轮，慢慢地，不要毛躁，第三轮就没出错了，果然是能整除的。我随后就此情况向她介绍了除法得小数的各种情况：
整除是狗屎运，巧合
除得有限位小数如 6/5=1.2， 7/4=1.75是因为分母都是由质因数2或5组成的除出来是无限循环小数是大部分情况，如4/3，1/7等那么，为什么分母由2或5乘积组成时能除完有限呢？而分母含有3，7等质数时不行呢？
因为我们使用的是十进制。1/10表示了0.1； 1/100表示了0.01. 而10=2×5. 所以凡是分母只有2，5因子组成，总能得到有限位的小数。
对于常见的4/3，我们知道它等于1.3333...， 但如果用三进制来计算的话就不会无限循环了。
1=1
2=2
3=10
4=11
所以4/3=11/10=1.1.
反而1/2是无限不循环小数0.11111....
四，实数
派追问我：“那么，有没有无限不循环小数呢？”
这是我要的教学效果。她还是挺有逻辑地在追问一下我“漏下”的描述点的。
首先，我让她尝试了一下1/7的小数过程。10-1×7=3，30-4×7=2，20-2×7=6，60-8×7=4，40-5×7=5，50-7×7=1，出现循环。所以总会循环到某个余数的。1/7=0.142857142857....
然后我回答她了，无限不循环小数是有的。它不能用分数，两个整数相除来得到。比如π，上一篇写到的你啊，它就是一个永远都不会循环的数啊。还有就是来自开方运算的，如根号2，这些我们都称为无理数。
人们一直以为通过无限小数循环能够把数轴上的数都连贯地表示出来，结果某天毕达哥拉斯学派弟子希伯斯告诉人们，在这些数中还能插入一些数，他们不能通过两个整数的比值来得到。而他的老师毕达哥拉斯深信任意数均可用整数及分数表示，不相信无理数的存在。但是他始终无法证明不是无理数，后来希伯斯将无理数透露给外人——此知识外泄一事触犯学派章程——因而被处死，其罪名等同于“渎神”。
说起无理数的发现，这和勾股定理有着莫大的关系。我们都知道，在直角三角形中，直角边a、b和斜边c满足：a2+b2=c2，其中蕴含着平方和开方运算，这样必然会出现对整数开方不尽的情况。
下面是根号2是无理数的证明。
证：如果√2是有理数,必有√2=m/n（m、n为互质的正整数）两边平方：2=m2/n2
m2=2n2
显然m为偶数,设m=2k（k为正整数）
有：4k2=2n2, n2=2k2
显然n也为偶数,与m、n互质矛盾
∴假设不成立,√2是无理数
π是无理数的证明差不多，也是假设π是有理数=m/n，但需要用到高等数学，然后构造函数，用反证法推出矛盾，做法比较多，具体的这里就不展开说了。
五，复数
有理数和无理数占满了整根数轴，似乎没有理由再能插入任何其他的东西了。但人们往往低估了数学家们的变态之处，它们能用一些简单的公设作为根基，在自创的体系中构造出一片新天地，建立一座大厦，让大伙在知识的海洋中被淹死。
是的，复数，虚数就是这样子出来的一个东西。如果说我用 “拥有-100万来代表欠银行钱”来说明负数的话，那么以前的佃户可以说他拥有一块边长为的地来表示他借地主家1km2的一块地，从而来说明虚数这个概念。
很多时候一些东西的创新都是明知不可为而为之，比如小的数不能减大的数和负数不能开方等。 正所谓一些固执的“我非要”，“我就要”，使得一些问题有所突破和发现。包括上一篇中谈的π可以不是3.14！
至于复数的概念，对派目前来讲是无法理解的，但借这个主题一并阐述记录，等待她的提问。
数系中发现一颗新星——虚数，于是引起了数学界的一片困惑，很多大数学家都不承认虚数。莱布尼茨说：“虚数是神灵遁迹的精微而奇异的隐避所，它大概是存在和虚妄两界中的两栖物”。欧拉说：“一切形如，√-1，√-2的数学式子都是不可能有的，想象的数，因为它们所表示的是负数的平方根。对于这类数，我们只能断言，它们既不是什么都不是，也不比什么都不是多些什么，更不比什么都不是少些什么，它们纯属虚幻。”
然而，真理性的东西一定可以经得住时间和空间的考验，最终占有自己的一席之地。达朗贝尔指出，如果按照多项式的四则运算规则对虚数进行运算，那么它的结果总是a+bi的形式（a、b都是实数）。欧拉在1748年发现了有名的关系式，并且是他在《微分公式》一文中第一次用i来表示-1的平方根，首创了用符号i作为虚数的单位。“虚数”实际上不是想象出来的，而它是确实存在的。
高斯在1831年，用实数组（a，b）代表复数a+bi，并建立了复数的某些运算，使得复数的某些运算也象实数一样地“代数化”。他又在1832年第一次提出了“复数”这个名词，还将表示平面上同一点的两种不同方法——直角坐标法和极坐标法加以综合。统一于表示同一复数的代数式和三角式两种形式中，并把数轴上的点与实数一一对应，扩展为平面上的点与复数一一对应。高斯不仅把复数看作平面上的点，而且还看作是一种向量，并利用复数与向量之间一一对应的关系，阐述了复数的几何加法与乘法。
经过许多数学家长期不懈的努力，深刻探讨并发展了复数理论，才使得在数学领域游荡了200年的幽灵——虚数揭去了神秘的面纱，显现出它的本来面目，原来虚数不虚。虚数成为了数系大家庭中一员，从而实数集才扩充到了复数集。
以下内容选读，作为写给自己或一些有兴趣的同学的扩充内容。
HAPPY For Learning
六，超复数
复数可以认为是数轴上充满了数的溢出，从一维的概念扩展到二维的复平面，整个复数域充斥了一个二维平面，并且在自洽的体系中展示了威力，复变函数在力学，电磁学，反馈控制等等领域中都是强大有力的工具。
本着爱学习，爱刨根问底和举一反三的态度，我一直会有追问，实际上在高中学复数的时候就想到，如果再增加一维变到三维空间下的数会怎样呢？ 类似a+bi+cj这样的数。但受限于知识的匮乏和信息的缺失，那种年代下没有机会接触像样的参考资料，也就只能自己瞎想想罢了。
后来网络的发达后，我得知，有类似想法的人肯定好几百年前就出生了（有个人叫Hamilton)，并且他们比我会更专业资深全面地去探讨。
是的，这种数，他们称之为三元数，但是，在定义三元数的乘法时，却遇到了不可逾越的障碍。例如:乘法不能满足"模法则"和普通运算定律(如交换律等)。而且无法明确的订出ij与ji的关系和其值。
(一) 模法则: "模法则"的存在，否定了"三元数"。为什么呢?
假设三元数 ， 符合"模法则"但是勒让得的三数平方和定理，说明了只要是8n+7的数，都无法表示成三数的平方和。当 =0(mod8)或1(mod8)或4(mod8)，三个数的平方和可以是0(mod8)、1(mod8)、2(mod8)、3(mod8)、4(mod8)、5(mod8)、6(mod8)，因此无法是7(mod8)，所以当模相乘为8n+7时,找不到 满足"模法则"。
(二)ij与ji
A.令a+bi+cj包含复数子集，所以ii=-1等复数性质应保留=>jj=-1那么，ij与ji相等吗？
假设ij=ji=?
(ij)(ij)=i(ji)j=i(ij)j=ij=(-1)(-1)=1
所以ij=1或ij=-1当ij=1或-1 都无法满足"模法则"。
B. 利用 = ，取1、i、j的向量系数平方和发现: = ，因此假设ij=0。但是i、j的模都是1，那么ij的模不可能是0，所以此假设是不合理的。如果ij=-ji，ij=k但是k=?又是一颗大石头=是k的模，又得知k同时与1、i、j互相垂直。因此证实了三元数的不存在，而且还推敲出了四元数。a+bi+cj+dk。
不管三元四元几元数，都称之为超复数。Hamilton证明了四元数是可以存在的，只是放弃了乘法交换律。从明确地角度而言，四元数是复数的不可交换延伸。如把四元数的集合考虑成多维实数空间的话，四元数就代表着一个四维空间，相对于复数为二维空间。
四元数的运算真是很复杂的，和高阶张量类似，光光积就有：点积（也叫内积），外积，偶积，叉积。
由于四元数有i，j，k三个虚部，所以得满足i?=j?=k?=i·j·k=-1这个条件。这里令★为“乘法”操作符，则p★q的公式如下，具体的推导步骤我就不写了。
事实上，在二十世纪中叶的科学和工程界中，向量几乎已完全取代四元数的位置，四元数并未发扬光大，属于偏门的学术说法而已。