负数介绍——为什么负负得正？（“负数引起了哪些新变化？”）

负数介绍——为什么负负得正？
我接下来计划写的许多数学普及文章都需要用到负数和复数。考虑到公众可能会对这两类数，尤其是复数感到陌生，所以这个专栏一开始就计划写两篇文章分别介绍负数和复数。这是第一篇。
一、引入负数之前，人类已经知道了哪些数？
自然数，是指0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12……人类最早认识的数其实是非零的自然数，但即使是这种认识，也经历了非常漫长的时间。认识到十只兔子的10，和十条鱼的10是一回事，对于早期狩猎的原始人来说，是非常不容易的！
如果说人类接触非零的自然数的历史可以追溯到几十甚至几百万年前的话，0这个数的正式引入也就是两千多年前的事，而把0归入自然数只是几十年前的事。即使到今天，公众谈论0这个数时可能还会觉得有些不解和神秘感。
人类认识的第二种数是分数。在日常生活中，分数也是无处不在的。比如，下面是1块蛋糕，分数，是指形如m/n的数(其中m和n都是非零自然数)，表示将m分成相同大小的n份后，每一份的大小，也称为m和n的比值。我们称m为分子，n为分母。分数通常也写作分数和自然数都可以表示量，比如大小，面积或者长度。
但是有些长度是无法用分数和自然数表示的，比如单位正方形的对角线，它的长度√2就不是分数。
关于这一点以及为什么单位正方形对角线的长度为√2，我们在文章《为什么√2不等于分数》中已经详细介绍了。
如何扩充自然数和分数构成的数系呢？从新数√2的发现来看，一种可行的方式是用长度来表示数，而这就引出了数轴的概念。
数轴是指从一个固定的点(原点)向右一直延伸到无穷的射线。数轴上的每一个点到原点都有一个固定的距离或长度，而这个长度又对应唯一的一个数。比如0就对应原点。按照这种方式，数轴上的所有点和所有可以表示长度的数之间可以完美地对应起来，越是靠右边的点，它所对应的数就越大。每个这样的数(包括√2)都可以在数轴上找的自己的位置，虽然显得很拥挤。
正数，是指大于零的数，也就是表示非零长度的数可以表示长度的数的加法运算是非常简单的，无非就是长度的拼接。
如何理解乘法呢？从数轴的角度来看，乘法代表着数轴保持原点不动的伸缩。
比如将所有的数都乘上2，相当于让数轴沿右伸长成原来的2倍，乘上1/3相当于让数轴收缩成原来的1/3。这种变换(比如伸长，缩短，以及后面将会提到的旋转)的观点在高等数学中非常普遍。
好了，这些就是人类在认识负数之前，已经知道的关于数的最主要的知识。
二、负数的引入
前面提到人类认识到十只兔子的10，和十条鱼的10是一回事的时候，就已经开始接触自然数了。但同样的数字在相反的语境下，却有完全不同的意味。比如我手头有2万元钱的2，和我欠别人2万元的2；我今年赚了50万元钱的50，和我今年赔了50万元钱的50；海拔300米的300和海底300米的300；向左移动6米的6和向右移动6米的6。区分这些相反语境下的数字就导致了负数的引入。
负数，是在正数x前面加一个减号，写作—x，代表着和正数x相反的量。我们称x和—x是相反数。－2，－5，－1/3，－√2，分别读作负二，负五，负三分之一，负根号二。－2和2 是相反数，1/3和－1/3是相反数。
比如我欠别人2万元可以说成，我手头有－2万元钱；我今年赔了50万元钱，可以说成，我今年赚了－50万；海底300米可以说成海拔－300米；向左移动6米可以说成向右移动－6米。大家可能会觉得这类说法会很绕口，但是负数的引入使得人们可以不必在相反的语境之间不断转换，这在很多情况下，(比如商业活动，计算和测量)给人们带来各种便利。日常生活的负数也是随处可见的，比如天气预报中的－5℃(零下5度)，电梯中的－1层－2层等等。
实数：我们把负数，正数和零统称为实数
上一节讲过零与正数，和数轴上的点完全对应，比如从数轴原点出发，向右移动2个单位距离，就到了数2对应的点。引入负数后，我们希望这种对应法则依然保持，而这就要求我们把数轴向左无限延伸。此时，向右移动－2个单位距离，就应该到达数－2对应的点，而我们前面讲过了向右移动－2个单位距离也就是向左移动2个单位距离，所以－2对应的点在原点的左边，距离原点为2。下图表示扩充后的数轴，数轴上的点和实数(包括负数，0，正数)完全对应，和上一节一样越是靠右边的点，它所对应的数就越大。比如－4<－1<0。
四、加减法
在引入负数之前，人们可能会认为 3－5 这样的运算没有意义，但现在情况不一样了。想想看你昨天赚了3万元，但今天又赔了5万元，那你这两天赚了多少钱呢？实际上应该是赔了2万元，或者说赚了－2万元。写出等式就是3－5 ＝－2但是今天赔了5万元又可以说成是今天赚了－5万元，所以上面的等式也可以写成：
3＋ (－5) ＝－2
法则：加上一个负数等于减去相应的正数。特别地，两个相反数的和为0，比如：3＋ (－3) ＝0再来看一个形象的比喻：一个富翁，他的个人固定资产是3千万，银行存款是5千万，他还欠朋友2千万。如果我们统计他的总资产的话，应该是把三个部分加起来3+5+(—2)＝6 (千万)而且不论我先加哪两个部分，再加第三个部分，计算结果都应该是一样的。这就引出了交换律和结合律在实数的加法中，交换律和结合律还是成立的：
a+b＝b+a；
(a+b)+c＝a+(b+c)
好了再回到上面那个有6千万总资产的富翁，如果他的朋友突然免除了他的2千万债务，等于说他的资产增加了2千万。这时计算他的新的总资产就应该是6－(—2)＝6＋2=8 (千万)法则：减去一个负数等于加上相应的正数。
所以引入负数后，加减法还是比较简单的，而乘法则更难理解。
五、乘法，为什么负负得正？
我们先来看负数乘以正数的情况，再来个比喻，如果你做生意，每天赚了5万元，10天之后就赚了5×10＝50 （万）但如果你每天赔了5万元，或者说每天赚了－5万元，那么10天之后就是赔了50万，或者说赚了(—5)×10＝－50 （万）
法则：负数乘以正数等于相应的正数相乘，再加个负号（正负得负，负正得负）从数轴的角度来看，实数(不论正数还是负数)乘上某个正数，比如2，的效果就是让数轴保持原点不变，左右同时伸长成原来的2倍。所以负数乘正数得到负数是不难理解的。
真正难理解的是，为什么负数乘负数会得到正数(负负得正)。几百年前，当人们刚引进负数的时候，这个问题就引发巨大的争议，甚至连当时的一些著名的数学家都无法接受负数乘负数会得到正数。直到今天，仍然有不少人会问为什么—1乘以—1会等于1？
如何形象地说明负负得正呢？我们还是拿赚钱来做比喻。假如有个人从2009年到2029年20年时间内年年都做生意，年年刚好赔30万元，也就是赚—30万元，从现在(2019年)开始算，5年后他的资产会比现在多(—30)×5＝－150（万）也就是，5年后他的资产会比现在少150万。而10年后他的资产会比现在多(—30)×10＝－300（万）那么—10年后他的资产会比现在多多少呢?自然应该是(—30)×(－10)但是—10年后，也就是10年前，他的资产应该比现在多300万(因为年年赔30万嘛)，所以我们就有等式：
(—3)×(－10)＝300（万）
当然了，这只是一种形象，粗浅的说法。负负得正还有更深刻的内在理由：保持各种加法乘法定律！
自然数，分数，甚至正数的加法和乘法会满足各种定律，比如，交换律，结合律，分配律，0乘定律。
乘法交换律和结合律：ab＝ba；(ab)c＝a(bc)
加法和乘法的分配律：(a+b)c＝ac+bc
0乘定律：任何数乘上0都等于0
比如5×3=3×5，(2+5)×3=2×3+5×3，(—5)×0＝0，1×(—5)＝—5。
在数学中各种定律是不能轻易破坏的。
以后，大家会看到，复数引入后这些定律还是成立的，而为了引入四元数，我们不得不牺牲乘法交换律，这是非常遗憾但也是不可避免的事情。
引入负数之后，我们当然还希望这些定律能保持成立。根据0乘定律，我们应该有(3+(－3))×(－10)＝0×(－10)=0而根据分配律，上面等式的左边应该是
(3+(－3))×(－10)＝3×(－10)＋(－3)×(－10)我们之前已经知道了3×(－10)＝－30
所以(－3)×(－10)应该等于30。
考考您：我们前面已经讲过为什么3×(－10)＝－30。您能否用0乘定律和分配律直接推导出3×(－10)＝－30？
从数轴的角度也可以非常直观的理解负数乘法，比如乘以—1的作用相当于是让数轴上的点从原点的一边移到另一边，并保持和原点的距离不变，也相当于让整个数轴沿着原点转动180度。等我们讲下一期《复数介绍》的时候，大家会发现，这种转动的解释非常重要！
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听一听：咱们一起聊聊“0”与“负数”
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负数引起了哪些新变化？
有了负数后，数的范围也就从正数和零扩大到了有理数。数系完成了第一次扩充，数的范围扩大了，这就引起了一系列相关概念、法则的变化。小编稍稍整理了一下，至少引起了以下六大变化：
一、减法运算总可以实施
在学习负数之前我们已经学过自然数、分数、小数，但在实际生活中，这些数是不够用的。例如:某地白天最高温度为3℃，由于冷空气的到来，温度急剧下降了5℃，那么这时温度是多少呢?对这一实际问题，可以用减法来解，即求出(3－5)的差，但在没有负数之前，这个差是不存在的，而实际上这时的气温却是客观存在的。
为了解决类似的许多实际问题中存在的“不够减”的现象，在数学上引进了一种新数，即负数，如:3一5=﹣2。这里的“﹣2”是一个比0还小的数，数字2前面的“﹣”号读作“负”。回到实际问题中，﹣2℃就是我们熟悉的零下2℃。这样，有了负数，就可以解决以往数学学习中较小数不能减较大数的实际问题。在所学数的范围内，减法运算总可以实施了。
二、和可能比加数小
在引进负数之前，两个数相加，和一定不小于任意一个加数；两个数相减，差一定不大于被减数。而引进负数后，和可能比加数小。因此，我们就不能再用原来的结论来解决与有理数有关的问题，否则很容易出现错误。比如：a/5一定小于a吗？m+10一定大于10吗？有了负数后，这些都可能发生变化。所以，我们不能再用“和大于加数”、“差小于被减数”来判断加减的运算结果是否正确。
三、“0”的意义发生了一些变化
1.“0”不再是最小的数了。在负数没有学习之前，“0”是最小的数，“0”之外的其它数都比“0”大。而随着负数的出现，它不再是最小了，比“0”小的数有无穷多个，因为所有的正数都大于“0”，而一切负数都小于“0”。由此，有了负数之后的有理数集合里，没有了最大的数，也没有了最小的数。数的家族中再没有最小了，而只有更小了。
2.“0”不仅仅表示没有了。在引入负数前，我们都知道0可以表示没有、起点等，但自从引入负数之后，“0”则表示一种可以作为区别的状态，即通常说的“标准”。
在温度计上，0℃不是表示没有温度，而是表示冰点这样一个完全确定的温度。零上温度我们可以用正数来表示，零下温度我们可以用负数来表示。
在地理中也经常用到正负数，科学家是以海平面为零点，以向上的垂直高度为正，以向下的垂直高度为负来描述海拔高度。某地的海拔高度是0米，这并不是这个地点没有高度，而是指这一地点与海平面的高度一样高。
在方位上，我们也可以用“0”为参照点来进行描述。正向和反向是一对相反的事物，从中可以看出正负数的痕迹，如果向东走可以用负数来表示的话，那向西走就可以用正数来表示。反之如果向东走用正数来表示的话，那向西走就可以用负数来表示。不论怎么走，它们都是以零点为参照点进行描述的。
3.“0”还可以表示标准水位、身高比较的基准等等。引入正负数后，“0”的意义就是如此的丰富，“0”还可以表示与数轴上的原点对应的数。
“0”是一个非常特殊的数字。它的意义和作用伴随着我们学习的深人，也在不断发生着变化。“0”小于所有正数，大于所有负数。它既不是正数也不是负数，是正负数的分界点。“0”相对于正数与负数而言也就成了唯一的中性数。因为负数的出现，让我们对“0”又有了新认识！
四、见到符号“＋”、“－”不只是想到了“加”、“减”
我们知道，在引进负数之前，“+”号和“﹣”号只是运算符号，分别表示加和减，但引入负数后，它们除了仍表示运算符号(加、减)外，还有下述意义：
1.可以看作是一个数(“正数”、“负数”)的性质符号。如(﹣6)﹣(+4 )中6前面的“﹣”号表示“负号”，中间的“﹣”号还是表示“减号”，后面的4前面的符号“+”号就表示“正号”。
把“正号”放在一个非零的数前面时，表示这个数是正数。如9本来就是正数，有时为了强调它是正数，可以在它的前面再放上“＋”号，变成了“＋9”，读作“正9”。也就是说“＋9”和“9”是一样的，都是正数。但是如果在9前面放上“﹣”号，所得的数“－9”就是个负数，读作“负9”。
2.对于“—”号还可以作为关系符号，表示一个数的相反数。把“﹣”号写在一个数（比如说是正数或是负数，也可以是零）的前面，就表示这个数的相反数。如﹣(﹣1)表示﹣1的相反数；﹣（a+b）表示“a、b两数之和的相反数”。
有了负数，我们就要注意：若一个式子中有几个符号，则要先弄清它们分别表示什么，这样才能正确读出它们。
五、整数与分数的范围扩大了
在数系的发展史上有三次重要的扩充：一是从正数和零扩充到有理数；二是从有理数扩充到实数；三是从实数扩充到复数。负数概念的被接受，数的范围也就从正数和零扩大到了有理数，数系完成了第一次扩充。
在负数出现之前，整数只有正整数和零，指的是0，1，2，3，这些自然数，负数到来后，整数范围扩大了，除了这些外，还多出了与正整数1，2，3，……相配对的﹣1，﹣2，﹣3，……这些负整数。整数也就包括了正整数、0、负整数三部分。如绝对值小于3的整数是﹣1、﹣2、 0、1、2。
对于所有整数之和等于0，我们也就不再奇怪了。至于分数、小数也是如此，我们也懂得了不仅仅只有正分数和正小数，还有负分数、负小数，如：﹣2.9，﹣2/3……。整数与分数的范围彻底扩大了。
六、运算法则有些改变
我们知道，有理数有“符号”和“绝对值”两个因素，所以在学习了负数后，有理数在相加、相减、相乘、相除时，就要同时考虑运算结果的符号及运算结果的绝对值。一般先要确定结果的符号，再计算出结果的绝对值。如：计算7＋（﹣9），这是异号两数相加，这里结果的符号是“﹣”号，这是与绝对值较大的加数“﹣9”的符号是相同的，结果的绝对值是2，也就是说是用较大的加数的绝对值减去较小的加数的绝对值得来的，所以运算的最后结果是“﹣2”。
有理数的减法可以转化为加法进行，减去一个数等于加上这个数的相反数。而对于有理数的乘法和除法，结果的符号的确定法则是：两数相乘（或相除），同号得正，异号得负。结果的绝对值的计算法则是：将两数绝对值相乘（或相除），但相除时除数不能为0。
当然，随着对有理数的进一步认识，随着思考的深入，我们将会看到负数带给我们的更多新变化，更多的新思考、新感受！
想一想
你会怎么回答？
1.对于﹣a尽管习惯上读作“负a”，但它的意义是什么呢？
2.对于﹣0应读作什么呢？