导引:文章最后有公理化鼻祖--如雷贯耳的《几何原本》下载方法
一、理论力学里只有杠杆定理
以前的文章(杠杆原理霸气得很，但不是理力的原理)转发了杠杆原理的历史，然而杆杆原理在理论力学中只能称为“杠杆定理”，不能叫“杠杆原理“”。另外一篇文章(公理、原理、法则与定律)阐述了在某学科体系中公理和原理都是只能理解，无需证明的假设(或公设)。哈工大编写《理论力学》(高等教育出版社出版)的静力学有五个公理：力的平行四边形法则；二力平衡；加减平衡力系公理；作用力和反作用定理；刚化原理。通常所说的“杆杆原理”是可从这五个公理导出的，所以应该叫杆杆定理。
如果学完刚体平衡方程后，对杠杆支点写矩平衡方程(图1)很容易得到平衡杠杆的两个力与臂长成反比，即推出杠杆定理。矩平衡方程也是从公理导出的，所以杠杆定理也一定能从五个公理直接导出来。
图1
理论力学通常在一开始就介绍公理，而刚体平衡则需要一段时间才能接触。如果在公理介绍完之后就宣称“杠杆定理”，就必须从公理出发来证明。这个证明肯定有点啰嗦，可是要欣赏公理化学科怎么玩，也是个不错的案例。下面就从理论力学的公理来导出“杠杆定理”。
一、我们可以证明图1中O处的作用力FO与FA和FB平行(见图2)。反正如下：如果FO与FA不平行，则FO与FA有交点；根据三力平衡汇交定理(由公理一、公理二和公理三导出的定理)，则FO, FA, FB三力相交于一点，这就是说FA和FB不平行。这与杠杆的原始假定不符合，所以FO一定与FA和FB平行。
图3
二、在A和B两个地方加一对平衡力FA//和FB// (图3)。根据公理三，杠杆仍保持平衡。当然有FA//=FB//。
三、将FA//和FA合成得到FRA, 将FB//和FB合成得到FRB(图4)。
四、根据三力平衡汇交定理，FRA、FRB和FO三力交于一点C。
图4
最后强调一点：静力学的五个公理中第二和第三公理是刚体特有，而第一和第四公理对变形体也成立。只是理论力学的默认研究对象是刚体，写文章的基本语境都是刚体，所以在前面文章中说：力系的简化与合成只对单刚体有效(力系的合成与简化只对单个刚体有效)。第五公理让理论力学的研究有意义，因为实际物体都是变形体(只用刚体模型回答刚体相关的问题，也极其有用)。
斜面原理和螺旋省力原理等等都可以按上述导出了，所以它们在理论力学中最多只能是"定理"。
二、公理化的含义
公理化思想就是任何真正的科学都始于公理(或曰原理)。它以公理为基础，并由之而导出一切结果。公理化最为成功的范例就是平面几何。很多学科都企图建立公理化框架，即便是经济学也试图公理化方法。
数学超人希尔伯特1900年在巴黎第二届国际数学家大会上作了题为《数学问题》的著名讲演，其中第六个问题便是物理学公理化的数学处置方案。1933年，苏联数学家柯尔莫哥洛夫实现了将概率论公理化。后来在量子力学、量子场论方面取得了很大成功。但是物理学是否能全盘公理化，很多人表示怀疑。
公理化方法可以说是古希腊对科学的重要贡献。最初是由亚里士多德的完全三段论到欧几里得《几何原本》的问世。大约在公元前3世纪，希腊哲学家和逻辑学家亚里斯多德总结了几何学与逻辑学的丰富资料，系统地研究了三段论，以数学及其它演绎的学科为例，把完全三段论作为公理，由此推导出其它所有三段论法，从而使整个三段论体系成为一个公理系统．因此，亚里斯多德在历史上提出了第一个成文的公理系统。
亚里斯多德的思想方法深深地影响了当时的希腊数学家欧几里得。欧几里得把形式逻辑的公理演绎方法应用于几何学，从而完成了数学史上的重要著作《几何原本》。他从古代的量地术和关于几何形体的原始直观中，用抽象分析方法提炼出一系列基本概念和公理。他总结概括出10个基本命题，其中有5个公设和5条公理，然后由此出发，运用演绎方法将当时所知的全部几何学知识推演出来，整理成为演绎体系。《几何原本》一书把亚里斯多德初步总结出来的公理化方法应用于数学，整理、总结和发展了希腊古典时期的大量数学知识，在数学发展史上树立了一座不朽的丰碑。
公理化体系中把对象、性质和关系称为“论域”，这些对象、性质和关系，由初始概念表示。例如欧氏《几何原本》中只需取“点”、“直线”、“平面”；“在……之上”、“在……之间”、“叠合”作为初始概念。前三个概念所表示的三类对象和后三个概念所表示的三种关系就是这种几何的论域。按照“一个公理系统只有一个论域”的观点建立起来的公理学，称为实质公理学。这种公理学是对经验知识的系统整理，公理一般具有自明性。因此，欧氏《几何原本》就是实质公理学的典范。
公理化体系的概念尽可能少，公理尽可能少且相互没有冲突。在这组吝啬的概念和公理下，逻辑推演整个学科。公理化体系内的逻辑是严明，找不出矛盾。如果你想对公理化体系挑毛病(或者脑子有“偏执”毛病；或者推演出来的结果与观察到事实有冲突)，那么不要怀疑推演有问题，要怀疑就去怀疑公理是否合理，初始概念是否恰当。
19世纪年轻的俄国数学家罗巴切夫斯基脑子有这种“偏执”毛病，他认为第五公设不能以其余的公理作为定理来证明；其次，除掉第五公设成立的欧氏几何之外，还可能有第五公设不成立的新几何系统存在。于是，他在剔除第五公设而保留欧氏几何其余公理的前提下，引进与第五公设相反的公理，从而构造了一个全新的几何系统，它与欧氏几何系统相并列。后来人们又证明了这两个部分相矛盾的几何系统竟是相对相容的，即假定其中之一无矛盾，则另一个必定无矛盾，这样以来，只要这两个系统是无矛盾的，第五公设与欧氏系统的其余公理就必定独立无关。现在人们就用罗巴切夫斯基的名字命名了这一新的几何学，并把一切不同于欧氏几何公理系统的几何系统统称为非欧几何。
现代科学发展的基本特点之一，就是科学理论的数学化，而公理化是科学理论成熟和数学化的一个主要特征。不但对建立科学理论体系，训练人的逻辑推理能力，系统地传授科学知识，以及推广科学理论的应用等方面起到有益的作用，而且对于进一步发展科学理论也有独特的作用。
任何一门科学都不仅仅是搜集资料，也绝不是一大堆事实及材料的简单积累，而都是有其自身的出发点和符合一定规则的逻辑体系。公理化方法对现代理论力学及各门自然科学理论的表述方法都起到了积极的借鉴作用。例如牛顿在他的《自然哲学的数学原理》巨著中，系统地运用公理化方法表述了经典力学理论体系；爱因斯坦运用公理化方法创立了相对论理论体系。狭义相对论的出发点是两个基本假设：相对性原理和光速不变原理。爱因斯坦以此为前提，逻辑地演绎出四个推论：“尺缩效应”、“钟慢效应”、“质量增大效应”和“关系式”．这些就是爱因斯坦运用公理化方法，创立的狭义相对论完整理论体系的精髓。
三、如何公理化
1．要积累大量的经验、数据和资料，对这些经验资料进行分析归纳，使之系统化，最后上升为理论。因为公理系统的建立是以大量的事实为基础，以丰富的经验和已有的科学知识为前提的。
2．学科公理化的目的是要把一门学科整理成为一个演绎系统，而这一系统的出发点就是一组基本概念和公理。因此，要建立一门学科的演绎系统，就要在第一步的基础上，从原有的资料、数据和经验中选择一些基本概念和确定一组公理，然后由此来定义其它有关概念并证明有关命题。选取的基本概念是不定义概念，必须是无法用更原始、更简单的概念去确定其涵义的，也就是说，它是高度纯化的抽象，是最原始最简单的思想规定。
3．在确定了基本概念和公理之后，就要由此出发，经过演绎推理，将一门学科展开成一个严格的理论系统。也就是说，对系统中的每一概念予以定义，而每一个定义中引用的概念必须是基本概念或已定义过的概念；对其它每一命题都给予证明，而在证明中作为论据的命题必须是公理或者已经证明为真实的定理。因此，一门学科的演绎系统就是这门学科的基本概念、公理和定理所构成的逻辑的链条。
在上述过程中，从认识论的角度来看，任何公理系统的原始概念和公理的选取必须反映现实对象的本质和关系。就是说，应该有它真实的直观背景而不是凭空臆造。其次，从逻辑的角度看，则不能认为一些概念和公理的任意罗列就能构成一个合理的公理系统，而一个有意义的公理系统必须是一个逻辑相容的体系。
公理系统的相容性是至关重要的，因为一个理论体系不能矛盾百出。而独立性和完备性的要求则是次要的。因为在一个理论体系中，如果有多余的公理，对于理论的展开没什么妨碍；如果独立的公理不够用，常常补充一些公理，逐步使之完备。
参考资料：杨琪. 数学中的公理化方法及其对数学教学的启示[J]. 数学教学研究,2013,(11):60-62(第二和第三节内容)
