经典之一：考小学生数感的题

又到一年期中，每年这个时候，下面这类题被问的频率就很高。

图一图二是一年级的，图三是三年级的，还有一堆的数阵题也会高频出现。大家也许会注意到这类题基本上是孩子学完10以内加减法（一年级）时出现的，相当于是一种综合应用，应用的是什么呢？
是孩子对加减法“运算规律”的应用，换句话讲，是考核孩子对数数关系能力把握的如何，平日做计算的时候，有没有真正“用脑”，能不能察觉数的大小变化，也就是数感好不好。
很长一段时间，我都很恍然，为何家长的问题透露出好像孩子压根儿没上课的感觉，学了半个学期的计算，哪怕自己尝试凑一凑的意愿都没有么？说起来许多孩子幼儿园开始就学计算了，要么平常口算都是过关的，怎么会有那么多孩子卡在这类题上呢？
教材几个版本我都研究过，虽然各有千秋，在数字关系上，也可谓是“用心良苦”，编排了许多有意义的练习。后来我渐渐知道，并不是每所学校每个老师都是按照教材要求上课的，上课的方式方法大相径庭，进度各地区甚至各个学校也都不一致，从家长处了解到，许多学校甚至许多内容都是抛给家庭，让家庭先预习（所谓的“预习”是预先把课本上的练习做了），然后老师再上课的时候就轻松了，看上去孩子们都会做就过了。
然而把课本抛给家长，家长真的会辅导吗？恐怕能知道这些练习为何这么编排，到底要如何去引导的家长寥寥无几吧，大多数家长应该只是督促孩子把计算题答案算出来就OK了，长久以来人们（家长这个群体以及少部分教师）误认为学习数学，就是把算术的答案写正确。不少想来上课的低幼小朋友家长，上来就说，我的孩子10以内运算已经很熟练了，20以内加减运也会算了，能不能上一阶段课呢？
什么叫10以内加减运算很熟练？——今天就让我来借着课本，来给家长朋友们上一堂关于“数感训练”的课，科普一下什么叫熟练？
北师大版
让我们先来看看北师大版教科书，?是一年级上册的P35，这一页上的六道练习分别都是什么目的？
第一题：巩固6的加减法，加深加减逆运算的理解，既然是理解，就需要深度交流，因此这道题是要求在写出一加一减的基础上进行交流的，交流什么？解释整体部分关系。第二题：看上去是关于6的拆分，但这题要求的是用实物操作摆一摆，积累加减法经验，至于什么经验，教参上并没有仔细说。后面我会补充来讲。第三题：是对算式的解释，要求孩子对应算式讲一讲发生了什么，鼓励孩子说出更多实例，如果说写算式是一种归纳，那么这里训练的就是演绎的能力。第四题：依然是关于6的运算，这里教参上明确说明：“对计算速度不宜提出过高的要求，单元结束时学生能每分钟做8道题即可”。（所以，请问那些刚上一年级就要求孩子5分钟甚至3分钟做100道题的要求是从何而来的？读者们自己想吧）第五题：通过计数器画珠子，感受加减法互逆。第六题：要求通过游戏互动的形式，加深6的计算，这里要求每位学生都参与到游戏活动中去，一人说1，另一人回应我出5，1+5=6，这种应答式带有一些良性竞争意味的游戏，特别能促进孩子注意力集中，能起到很好的强化作用。（但课堂孩子能不能得到充分锻炼？这么多学生，每个人都参与，分组游戏的时候，互动是否到位？如果不能，谁来补充孩子这方面经验的不足？读者们也自己想吧～）六道题讲完，以上内容不是我瞎编的，来自北师大出版社编写的《教师教学用书》，这套书的开篇就用大大的黑体写着：顺应孩子天性的一套教科书。
书是顺应天性的，课堂顺应天性吗？回到家还顺应天性吗？
问题留给大家自己思考。就小小一篇一页书的练习，就有那么多文章，不同的形式，来对同一内容（关于6的运算）进行巩固，是的，这里还只是巩固，前面30多页，每一页每一题都有对应的意义，从理想的角度讲，如果教学是充分的，进度是合理的，学生应该能达到很理想的水平了。
但是家庭除了不停给孩子刷口算题，每天几百几百道地来做，还做了什么有意义的事吗？所以结果就是孩子变成了刷题机器，数感却越来越差。
说到数感，数数关系，在北师大版本一年级上册里，体现得其实并不深刻，北师大版很重视加法交换律，加减法互为逆运算的引导，在计算上花了很多心思，提供了许多不同形式的游戏活动来让学生理解运算，但是没有从运算本身的规律入手加以引导，这方面人教版也是如此。。。
人教版

人教版我不想多说，因为内容真的很少，整体印象就是，让孩子反复记忆数字的拆分，虽然教参上也提到了观察算式规律，但是也就点到即止，至于观察什么样的规律都没有讲。
即便上面这几页教科书上有类似的数字拆分规律，算式规律的体现，但是在教参上的指导重点却不够明确（这是我的看法）。
比如针对上面P61，强调的是加法交换律，从“一图四式”过渡到“一图三式”，重复的那个加法算式可以不写，编写意图是“使加减法之间的关系更为突出，也减轻了学生的记忆负担”。
而针对这一页上最后一题，8+2，6+4，7+3几组算式的关系，这道练习的意义压根儿没有讲。在P60中安排了古代的算筹，教参上却是“让老师安排学生用小棒进行拆分，要指导按照顺序分小棒，按顺序记忆组成，培养学生有序性”，但是到底是什么规律，这个顺序在算式中的意义是什么呢？没有讲，这里的总结也不重要。但是如果你仔细看，这一页上的算筹是“画蛇添足”的装饰，古代算筹，还要区分“横”“竖”两种表征性质，“竖”代表1，“横”代表5，在图形上，规律也不直观，还需要学生进行一次转换，实际操作又是用木棍进行的，那么为何不能象其他版本教科书那样，放一张清晰地呈现规律的图呢？算筹这个看上去是课外兴趣读物，放这里其实是一种干扰，或者大部分学生干脆也就忽略了。
到底我们要孩子观察算式什么样的规律呢？让我们来看看其他版本的教科书。
沪教版

沪教版的每一册都比别的教科书要薄，几乎只有人家的一半，但就算内容精简到这样的程度，关键内容也还是体现出来了——我认为让学生观察算式的规律，运算中数量的变化关系是非常非常非常重要的事！
请看上面第一张图，讲的是10的拆分，教学目标是让学生掌握10以内各数的“不重不漏”的拆分方法。
这部分的教学分成了先让孩子独立思考，数鸟，填写数字，然后再替换成双色原片拆分，再总结其中的规律：“从全是红（蓝）片开始，每次减少一片红（蓝）片，就增加一片蓝（红）片，直至全部都是蓝（红）片”。
不仅如此，这部分教学反复用不同形式来重现这样的规律，比如引导孩子思考“如何可以一目了然地知道没有遗漏？”（读者也可以想一想，课堂能够起来回答问题的孩子就那么1-2个，其余孩子没有得到口头上交流的机会，你确定孩子都能够通过听别人说获得同样的认识吗？回去你又应该干什么呢？）
再看上面第二张图，最后两题，都是关于数的拆分，是对于前面总结的规律，“不重不漏”的拆分进行应用和巩固。
苏教版

苏教版，针对加减运算的各种规律有许多练习和引导。比如上面P64，第一题，强调的是，先写出得数是8的算式（和不变），再写出8减几的算式（被减数不变）。在教参里，会反复提到：“要引导学生比较每组算式的相同点和不同点......从上往下，减去的数越来越小，算出的得数越来越大”，“将相加等于9的卡片一组一组放好，再有序地排一排”。
P67上的图就是体现规律的图，北师大版和人教版在让孩子探索算式规律的经验上描述不清楚的地方，在其他版本里都有不同程度的体现，比如这里苏教版教参就明确说：“在学生看图填写算式后，让他们试着说说这些算式的排列规律，即，它们的得数都是10，加号前的数从1开始，依次增加1，加号后的数从9开始，依次减少1。”到了同一页上第5题，不是简单做完两道题就结束，而是让学生有条理地思考，有次序地表述，相当于对前面总结规律的应用。
浙教版

最后来看看浙教版，我就直接把教参的内容贴上来了。课本第75页：
有数轴的形式；
有数形结合的形式；
有让学生熟悉总量与部分量的关系（即整体部分关系）；
有让学生比较两道题的异同；
有让学生有序地思考，填写表格；
有完成表格后的总结——
这里的规律总结更加清晰：“教师可以让学生观察表格中每一组数的变化规律：一个加数在增大，另一个加数相应地在减小，这就是和不变的规律。”
再来看?P104，是针对前面加减运算的复习，整理应用部分，针对减法的复习，很清楚地讲出了指导要求：
“可以根据多条线索，对学过的算式进行回忆和整理，并通过交流获得多样化的知识整理的方法。如写出被减数相同的算式、减数相同的算式或差相同的算式。”
现在我可以来给你总结，什么是“10以内加减法都熟练了”，什么是“数感”好？
即一个孩子应该不仅能写出算式的答案，而且能够联想到相关的算式，心中清楚加数变化，和怎么变化；被减数/减数/差三者之间呼应的变化规律，对于和相同的算式，差相同的算式，是可以很快根据规律写出来的。这里对规律的熟知，对数大小关系的把握就是数感的体现。
回到开头的题目（我再贴一下图片）
这类题目应该是课堂里老师要引导过的，在以上版本的教科书中是有的，我没有再去找对应的版本了，但不管形式是怎样，儿童在学习10以内运算的过程中，应当熟悉“和相等”“差相等”的算式，这种熟悉是从观察比较中总结出来，再通过不同形式的巩固，应用来强化的。
许多人以为，儿童就是通过做题，知道方法后，记住它，以后此类题就会做了，要么就是反复刷题。但实际上，儿童需要通过操作、观察、交流对话，而且是不断地交流对话，形成对这些规律的认识，并在不断的思考中深化对数数关系的理解。
所谓记住，是反复思考的结果，不是“背诵”。

再来看后面两道相似的题，看上去是混合运算，好像很难的样子。但是如果根据某些教科书专门提到的整体部分关系，对算式意义的理解到位的话，我们就可以把题目的意思转译一下：
把两个数相加的结果看成是一个整体，这个整体减去一个数等于另一个数，根据逆运算，就相当于“这个整体=两个数相加”，因此题目就变成求：两个数相加=另外两个数相加。实际上也就变成了类型一的题目了。
今天我花了大部分的时间来分析教材，讲述10以内运算的一些训练细节，而到最后解题部分，其实我们只花了很少的时间。我希望读者能理解，这就如同“台上十分钟，台下十年功”一样，综合运用题的考核，体现的就是孩子日常的基本功做的怎样，不要把它们想象成做一道题，就弥补了孩子过往经验和思考的缺失，甚至把它看成象脑筋急转弯一样。
今天关于“数感”的题就讲到这里，以后再给大家分享高年级的题～
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