求一阶线性微分方程的通解 求一阶线性微分方程的特解

求一阶线性微分方程？

一阶线性微分方程公式是：y'+P(x)y=Q(x)。

形如y'+P(x)y=Q(x)的微分方程称为一阶线性微分方程，Q(x)称为自由项。一阶，指的是方程中关于Y的导数是一阶导数。线性，指的是方程简化后的每一项关于y、y'的次数为0或1。

一阶线性微分推导：

实际上公式：y＇＋Py＝Q之通解为y＝［e＾（－∫Pdx）］｛∫Q［e＾（∫Pdx）］dx＋C｝中要求每一个不定积分都要算出具体的原函数且不再加C。

而本题∫Pdx＝ax，但∫Q［e＾（ax）］dx＝∫f（x）［e＾（ax）］dx中，因为有抽象函数f（x）无法算出具体的原函数，所以要用不定积分与变限积分的公式：∫f（x）dx＝∫［a→x］f（t）dt＋C（所以每个题都可写上下限。

本题用此公式取上式的a＝0，C换为C1，（当然被积函数也要换成本题的被积函数），代入公式后C1＋C换为C2再换为C。这样才能代入初始条件y（0）＝0，求出C。

延伸阅读

一阶线性微分方程的通解例题？

解法一：（全微分法）

∵y'=y/(y-x)

==>ydx-(y-x)dy=0

==>(ydx+xdy)-ydy=0

==>∫(ydx+xdy)-∫ydy=0

==>xy-y^2/2=C/2 (C是常数)

==>2xy-y^2=C

∴此方程的通解是2xy-y^2=C。

解法二：（分离变量法）

∵令y=xv，则y'=xv'+v。代入原方程，化简得

==>2dx/x=[1/(2-v)-1/v]dv

==>2ln│x│=-ln│2-v│-ln│v│+ln│C│ (C是非零常数)

==>x^2=C/[v(2-v)]

==>x^2=C/[(y/x)(2-y/x)]

==>x^2=Cx^2/[y(2x-y)]

==>y(2x-y)=C

==>2xy-y^2=C

∴此方程的通解是2xy-y^2=C。

一阶常系数线性微分方程的通解？

举例说明：(x-2)*dy/dx=y 2*(x-2)^3

解：

∵(x-2)*dy/dx=y 2*(x-2)3

(x-2)dy=[y 2*(x-2)3]dx

(x-2)dy-ydx=2*(x-2)3dx

[(x-2)dy-ydx]/(x-2)2=2*(x-2)dx

d[y/(x-2)]=d[(x-2)2]

y/(x-2)=(x-2)2 C (C是积分常数)

y=(x-2)3 C(x-2)

∴原方程的通解是y=(x-2)3 C(x-2)(C是积分常数)。

扩展资料：

形如y'+P(x)y=Q(x)的微分方程称为一阶线性微分方程，Q(x)称为自由项。一阶，指的是方62616964757a686964616fe78988e69d8331333431333963程中关于Y的导数是一阶导数。线性，指的是方程简化后的每一项关于y、y'的次数为0或1。

对于一阶非齐次线性微分方程：

其对应齐次方程:

解为：

令C=u(x)，得:

带入原方程得：

对u’(x)积分得u(x)并带入得其通解形式为：

其中C为常数，由函数的初始条件决定。

注意到，上式右端第一项是对应的齐线性方程式（式2）的通解，第二项是非齐线性方程式（式1）的一个特解。由此可知，一阶非齐线性方程的通解等于对应的齐线性方程的通解与非齐线性方程的一个特解之和。

一阶线性微分方程的通解公式？

形如：

F(x, y, y') = 0 ①

的方程，被称为一阶微分方程，其中 x 是自变量，y 是 x 的未知函数，y' 是 y 的导函数。

如果 函数 y = φ(x) 使得，

F(x, φ(x), φ'(x)) = 0

则称 该函数 为 ① 的一个解。

将 y' 从 ① 中 提取出来，表示为：

y' = f(x, y)

被称为 解出导函数的微分方程。

进而，如果 f(x, y) = p(x)y + q(x)，则 方程 变成：

y' = p(x)y + q(x) ②

被称为 一阶线性微分方程。令 q(x) = 0 ，得到方程：

y' = p(x)y ②'

被称为 一阶齐次线性微分方程，而 ② 被称为 一阶非齐次线性微分方程。

为什么 ②' 叫做 齐次，而 ② 不是 呢？

齐次：多项式各项 的未知元 次数 相同。

因为 ②' 各项 y' 和 p(x)y 中，未知函数 y 的 次数 都是 1，即，各项未知元次数平齐；而 ② 的项 q(x) = q(x)y? 中 y 的次数 是 0，不同与 另外 两项 中 y 的次数 1 ，即，各项未知元次数不平齐。

对于，一阶齐次线性微分方程，有，

等式两边关于 x 积分，有，

再令，c = ±e? ，最终得到 齐次方程通解：

由 常数 C 是任意实数，得到 常数 c 是不等 0 的 任意实数，而 c = 0 时，y = 0 ，因 y’ = 0 = p(x) 0 = p(x)y， 是方程的 解，故 常数 c 同样为 任意实数。

将 齐次方程通解 中的 常数 c 变异为 x 的函数 c(x)，得到：

再代入 非齐次方程 ② 有，

结果，代入前面等式， 再将 C 改为 c，最终得到 非齐次方程通解：

以上，求解 非齐次方程 通解 的方法，称为 常数变异法。

有些 微分方程 虽然表面上看，不是 一阶线性微分方程，但其实 都是 ② 中 y 被换元 的结果。例如，令，

代入 ② 有，

令，P(x) = p(x) / (1- n), Q(x) = q(x) / (1-n)，得到：

这被称为，伯努利微分方程。我们只需要求出 对应的 一阶线性微分方程：

的通解：

就可以得到 伯努利微分方程 的通解：

解出导函数的微分方程 中 如果 令 f(x, y) = -P(x, y) / Q(x, y)，并将 y' 表示为 微分形式 dy/dx 则方程变形为：

dy/dx = -P(x, y) / Q(x, y)

即，

P(x, y) dx + Q(x,y) dy = 0 ③

若，存在 函数 u(x, y) 使得，

P(x, y) = ?u(x, y) /?x , Q(x, y) = ?u(x, y) /?y

则，根据 全微分，有，

d u(x, y) = (?u(x, y)/?x) dx + (?u(x, y) /?y) d y = P(x, y) dx + Q(x,y) dy = 0

等式两边 关于 u 积分 得到：

∫ d u(x, y) = ∫ 0 d u

即，

u(x, y) = c

规定 u 有 连续偏导数，则 根据隐函数定理，解 y = φ(x) 存在。

由前面的要求，有：

?P(x, y)/?y = ?2u(x, y) /?x?y = ?2u(x, y) /?y?x = Q(x, y)/?x

即，

?P/?y = ?Q/?x

称满足上面 恰当条件的 微分方程 ③ 为 恰当微分方程。

有时候，微分方程 ③ 不满足 恰当条件，我们可以 在等式 两边 乘以 积分因子 μ(x, y)，得到：

μ(x, y)P(x, y) dx + μ(x, y)Q(x,y) dy = 0 ③'

这时 恰当条件 变为：

?(μP)/?y = ?(μQ)/?x

P?(μ)/?y + μ?P/?y = Q?μ/?x + μ?Q/?y

整理，得到：

P?(μ)/?y - Q?μ/?x = (?Q/?y - ?P/?y)μ

这是一个偏微分方程，从中 解出 μ 再代回 ③' 寻找 全微分 求解。

一阶线性微分方程 ② 可以变形为：

-(p(x)y + q(x)) dx + dy = 0

令，P(x, y) = -(p(x)y + q(x)), Q(x, y) = 1 就变成 了 ③ 的形式，但，

?P/?y = -p(x) ≠ 0 = ?Q/?x

于是，我们需要添加 积分因子，

μ = e^{-∫ p(x) d x}

这样以来，需要求解的方程为，

-e^{-∫ p(x) d x}(p(x)y + q(x)) dx + e^{-∫ p(x) d x}dy = 0

满足，条件：

?(μP)/?y = -e^{-∫ p(x) d x}p(x) = ?(μQ)/?x

又，因为，

?u/?x = -q(x) e^{-∫ p(x) d x} - p(x)e^{-∫ p(x) dx}y = -e^{-∫ p(x) d x}(p(x)y + q(x))

?u/?y = e^{-∫ p(x) dx}

所以 u(x, y) 就是 需要求解的方程 的 解。从 u(x, y) 其中 解出 y 与前面的 结果完全一致。

一阶非齐次线性方程的通解，可以变形为：

其中， ? 就是 对应 齐次方程的通解，而 y? 为 一个非齐次方程 的特解，也就是说：

一阶非齐次线性方程的通解 为 非齐次的一个特解 与 齐次的通解 之和。

注：可以证明，这个结论，对于高阶非齐次线性方程 同样适用。

再回看前面 常数变异法 发现 中间步骤，

如果，令，

则，得到方程 ④：

从中，可以求得 c'(x)，于是，一阶非齐次线性方程的通解为：

其中，?? 是一阶齐次线性方程的特解。通解 ? = c?? 其实 是 ?? 的线性组合。

也是时说，我们只要求得 一阶齐次线性方程的一个特解 ??，然后 从 方程 ④' 求出 待定函数 c'(x) 就可以 一阶非齐次线性方程的通解了。

注：这个求解过程，可以推广到 高阶非齐次线性方程。

例如，当 一阶线性非齐次方程 中 p(x) = -a 和 q(x) = b 是常数时，相应方程，

y' + ay = b

被称为 一阶常系数微分方程，其 对应齐次常系数微分方程，

y' + ay = 0

的特解为

?? = e???

由方程 ④ ，求得：

c'(x) = b/??

于是，最终得到 一阶常系数微分方程 的通解为：

y = ??∫ b/?? dx + c?? = e???∫ be?? dx + ce??? = ce??? + b/a

一阶线性微分方程 既是 一阶微分方程 又是 线性微分方程，因此从中 可以看出 两种理论的 影子，由于篇幅有限，也害怕跑题太远，这里并没有 展开 这些精彩的理论，以后有机会再说！

(补充：2020/4/18)

为什么 ② 被称为 线性呢？

线性来自于，② 的齐次方程 对应的 算子：

F(y) = y' - p(x)y

可以保持 函数的 线性运算，即，

保持加法： F(y + z = (y + z)' - p(x)(y + z) = y' + z' - p(x)y - p(x)z = y' - p(x)y + z' - p(x)z = F(y) + F(z)

保持数乘：F(cy) = (cy)' - p(x)(cy) = cy' - cp(x)y = c(y' - p(x)y) = cF(y)

其中，y, z 都是任意可微函数，c 是常数。

怎么辨别一阶线性微分方程？

一个微分方程的阶数取决于方程中出现的未知数的最高阶导数，也就是说，这个最高阶导数的阶数就是微分方程的阶数。判断微分方程阶数的时候，一定要将各项分开来看，在有括号的时候要将括号拆开来看，不然很容易判断错误。

在方程中，最高阶导数可以是常规的n阶导数，也可以是n阶偏导数或者n阶混合偏导数，这个并不影响判断导数的阶数。

如果出现多个函数的导数相乘的情况，那么所得该项的导数应该等于相乘的多个函数的导数的阶数之和，例如，方程中如果出现（df/dx）(dg/dx)这一项，那么这一项的阶数并不是1，正确的阶数应该是2，因为这是两个一阶导数的乘积。

还有一个简单的技巧可以判断一个微分方程的阶数，首先将所得微分方程化为标准形式，然后比较微分方程中各项式子里分母和分子同时含有的d或?的个数，最高个数就是该微分方程的阶数。

一阶线性微分方程解的结构是什么？

一阶线性微分方程解的结构如下：

形如y'+P(x)y=Q(x)的微分方程称为一阶线性微分方程，Q(x)称为自由项。一阶，指的是方程中关于Y的导数是一阶导数。线性，指的是方程简化后的每一项关于y、y'的次数为0或1。

扩展资料：

形如

（记为式1）的方程称为一阶线性微分方程。其特点是它关于未知函数y及其一阶导数是一次方程。这里假设

，

是x的连续函数。

若

，式1变为

（记为式2）称为一阶齐线性方程。

如果

不恒为0，式1称为一阶非齐线性方程，式2也称为对应于式1的齐线性方程。式2是变量分离方程，它的通解为

，这里C是任意常数。

常微分方程（ODE）是指微分方程的自变量只有一个的方程 。最简单的常微分方程，未知数是一个实数或是复数的函数，但未知数也可能是一个向量函数或是矩阵函数，后者可对应一个由常微分方程组成的系统。

一般的n阶常微分方程具有形式：

其中

是

的已知函数，并且必含有

。

偏微分方程（PDE）是指微分方程的自变量有两个或以上 ，且方程式中有未知数对自变量的偏微分。偏微分方程的阶数定义类似常微分方程，但更细分为椭圆型、双曲线型及抛物线型的偏微分方程，尤其在二阶偏微分方程中上述的分类更是重要。有些偏微分方程在整个自变量的值域中无法归类在上述任何一种型式中，这种偏微分方程则称为混合型。

一阶齐次线性微分方程通解？

举例说明：(x-2)*dy/dx=y 2*(x-2)^3

解：

∵(x-2)*dy/dx=y 2*(x-2)3

(x-2)dy=[y 2*(x-2)3]dx

(x-2)dy-ydx=2*(x-2)3dx

[(x-2)dy-ydx]/(x-2)2=2*(x-2)dx

d[y/(x-2)]=d[(x-2)2]

y/(x-2)=(x-2)2 C (C是积分常数)

y=(x-2)3 C(x-2)

∴原方程的通解是y=(x-2)3 C(x-2)(C是积分常数)。

扩展资料：

一阶线性微分方程的定义：

关于未知函数y及其一阶导数的一次方程，称之为一阶线性微分方程。

1、写出对应于非齐次线性方程的齐次线性方程，求出该齐次线性方程的通解。

2、通过常数易变法，求出非齐次线性方程的通解。

求解一阶线性微分方程？

一阶线性微分方程的解法是：

dy/dx+P(x)y=Q(x)，先令Q(x)=0则dy/dx+P(x)y=0，解得y=Ce－∫P(x)dx，再令y=ue－∫P(x)dx代入原方程，解得u=∫Q(x)e∫P(x)dxdx+C，所以y=e－∫P(x)dx［∫Q(x)e∫P(x)dxdx+C］，即y=Ce－∫P(x)dx+e－∫P(x)dx，∫Q(x)e∫P(x)dxdx为一阶线性微分方程的通解。

什么是一阶微分方程？

当Q(x)≡0时，方程为y'+P(x)y=0，这时称方程为一阶齐次线性微分方程。(因为y'是关于y及其各阶导数的1次的，P(x)y是一次项，它们同时又是关于x及其各阶导数的0次项，所以为齐次。)

当Q(x)≠0时，称方程y'+P(x)y=Q(x)为一阶非齐次线性微分方程。(由于Q(x)中未含y及其导数，所以是关于y及其各阶导数的0次项，因为方程中含一次项又含0次项，所以为非齐次。)。

一次微分方程的形式？

一阶微分方程有两种形式：y'=p(y/x)和y'=P(x)y+Q(x)。形如y'+P(x)y=Q(x)的微分方程称为一阶线性微分方程，Q(x)称为自由项。线性指的是方程简化后的每一项关于y、y'的指数为1。

一阶线性微分方程的求解一般采用常数变易法，通过常数变易法，可求出一阶线性微分方程的通解。一阶指的是方程中关于Y的导数是一阶导数，一阶非齐次线性方程的通解等于对应的齐次线性方程的通解与非齐次线性方程的一个特解之和。