三角形内角和是多少度（三角形内角和为什么是180°？）

三角形内角和是多少度
《三角形的内角和》视频
形状似座山,稳定性能坚。
三竿首尾连,学问不简单。同学们猜到是什么图形了吗？
(三角形)
早在300多年前法国数学家、物理学家、近代概率论的奠基者---帕斯卡，他在12岁时验证了任何三角形的内角和都是180°。今天就让我们一起站在巨人的肩膀上开始我们的研究之旅吧！
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一、研究等腰三角形内角关系
例1：一个等腰三角形中一个内角度数是另一个内角的2倍，这个三角形顶角是多少度？
【分析】
当等腰三角形一个内角度数是另一个内角的2倍时会有两种情况：
情况一：等腰三角形的顶角是一个底角的2倍”。把一个底角度数看作是“1份”，顶角就有这样的2份；又因为等腰三角形的两个底角相等，所以，这个等腰三角形三个内角和就有（1+1+2）份，根据三角形的内角和是180°，从而可求出它的一个底角的度数是180°÷（1+1+2）=45°，那么它的顶角的度数是：45°×2＝90或180°－45°×2＝90°解答：
一个底角的度数：180°÷(1＋1＋2)＝45°
顶角的度数：45°×2＝90或180°－45°×2＝90°情况二：等腰三角形的底角是顶角的2倍。把顶角度数看作是“1份”，一个底角就有这样的2份；两个底角共有这样的4份，这个等腰三角形三个内角和就有（1+2+2）份，从而可求出它的顶角的度数是180°÷（1+2+2）=36°。
解答
顶角的度数：
（1）180°÷（1+2+2）=36°
（2）180°÷（1+1+2）=45°
45°×2＝90°
答：这个三角形的顶角可能是36°或90°。
练一练：
一个等腰三角形,其中一个角是46度,另两个角各是多少度?
二、巧用三角形内角和
例2：如图：∠1+∠2+∠3+∠4= ？度。
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【分析】
三角形的内角和等于180度，用180°减去40°，即可求出∠2+∠1的和，也可得到∠3+∠4的和，再把两者相加即可。
解答
180°?40°=140°
140°×2=280°
答：∠1+∠2+∠3+∠4=280°。
练一练：
如图，已知DF⊥AB于点F，∠A=45°，∠D=30°，求∠ACB的度数。
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三、巧用折叠研究三角形内角和
例3：
如图：将矩形ABCD沿AE折叠，若∠1=30°，则∠2是多少度？
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【分析】
根据∠1 = 30°，∠BAD=90°，求出∠DAD'的度数，再根据角翻折后重叠角相等的特点，得到∠4=∠3，从而得到∠3的度数，再根据直角三角形内角和性质求出∠2即可．解答：∵∠1 = 30°，∠BAD=90°∴∠DAD'=90°-30°=60°
根据角折叠特点 ∠4 =∠3 =（60÷2）°=30°在直角△EAD′中，∠2 =90°-30°=60°答：∠2是60度。
练一练：
如图，直角△ABC中，∠ACB=90°，∠A=50°，将∠A沿CD折叠，使点A落在边CB上A′处，折痕为CD，则∠1是多少度？
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【课后练习】
1.三角形的一个内角是另一个内角的3倍，这个三角形各个内角是多少度？
2.如图，两个三角形都是等腰三角形，∠A=90°，∠3是多少度？
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3.（1）如图1，已知▲ABC中，∠A=50°，剪去∠A后成四边形，则∠1+∠2=（ ），请你猜想∠1+∠2与∠A的关系是（ ）。
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（2）如图2，若没有减掉，而是把它折成如图2形状，试探究∠1+∠2与∠A的关系是（ ）。
“学数学，就如鱼与网。解对一道题，就如捕捉到了一条鱼，掌握了一种解题方法，就如同拥有了一张网。做数学题要多思考，多动脑，才能发现数学的奥妙。

三角形的内角和是180度的思考
三角形的内角和是180度这节课是在学生已经掌握了角的度量、三角形的特征、三边的关系等基础上进行教学，是对三角形的进一步认识，为后继学习多边形内角和积累数学活动经验。
对这节课的学习，我们应该对以下两方面有充分的认识。
一、是让学生证明还是验证三角形的内角和是180度？
要解决这个问题，我们要先明白“证明”与“验证”的意思。
“证明”的基本意思是：根据确实的材料判明真实性；“验证”的基本意思是：经过检验得到证实。数学上证明与验证是完全不一样的概念。
在数学上，证明是在一个特定的公理系统中，根据一定的规则或标准，由公理和定理推导出某些命题的过程，证明往往依靠的是演绎推理。验证是则不是一个严格的推理过程，主要运用不完全归纳法，可以理解为利用一定的方法来检验得到这个结论。
有了对这两个词的认识，我们现在就能清楚地认识到小学教学中通过量角、折角、拼角、撕角等方法是验证三角形的内角和是180度，而非证明三角形的内角和是180度。在初中，我们会通过平行线、平角的度数、等量代换等过程是证明三角形的内角和是180度。
因此，在小学阶段的教学过程中，我们应该注意教学是验证而不是证明三角形的内角和是180度，学习的三角形的内角和是180度这个结论是无须去判明真实性，是借助一些方法在探索中证实三角形的内角和是180度。
二、验证活动中的注意事项
1、撕、拼角法。在课堂中许多教师经常用到这种方法，学生比较喜欢这种方法。在这种方法的操作过程中，学生的学习兴趣最高，把一个三角形的三个角撕下来，再拼成一个平角，直观地得到三角形的内角和是180度，以后学习平行四边形、梯形等多边形的内角和学生也较多地去采用这种方法。这种直观的操作对学生来说难度系数低，简明直接且没有悬念，思考的价值度也较小，得与量角法结合在一起才能更好地体现验证的价值。运用这种方法时，教师还应该有这么一种意识是有部分学生可能撕拼后的角不是一个平角，这时候应该怎么办？
2、量角法。学生在先前的学习中已经学会了量角的方法，用量角器把三角形的三个角的度数量出来，再相加进行验证。这个过程中，学生得到三角形的内角和并不完全都是180度，可能多一些或小一些。面对这种方法，会让学生对三角形的内角和是180度产生怀疑，学生在量角的过程中会出现一定的误差，只能说是验证出三角形的内角和接近180度。这时，有些教师怕遇到这种麻烦而摒弃，这是不利于学生数学的发展。学生对数学的学习应该时刻保持一种怀疑的态度，教师应该把这种误差当成一种学习资源，通过撕、拼角来辅助验证三角形的内角和是180度，让学生明确存在误差是必然现象，引导学生去发现、总结出减少误差的方法，积累验证一个结论有时候需要多少例子来进行验证的经验。
3、折角法和旋转调头法。这两种方法的操作难度会高于前面两种方法，在教学中如果是让学生自主讨论验证方法是比较少学生会想到的。面对学生的实际情况，在教学中应该让学生知道还有这两种方法，教师可以直接操作演示，帮助学生积累更多的验证方法。
三、建议
基于以上几点思考，我们可以明确地知道用量角法、撕拼角法并不是非常严密的验证方法，只能说是探索三角形内角和是180度的一些方法，建议教师探索用两个完全一样的等腰直角三角形拼成一个正方形或者用两个完全一样普通直角三角形拼成一个长方法来验证三角形的内角和是180度会更加合理。
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