什么叫排列组合问题(什么叫排列组合公式)

什么叫排列组合？

排列组合是组合学最基本的概念。所谓排列，就是指从给定个数的元素中取出指定个数的元素进行排序。组合则是指从给定个数的元素中仅仅取出指定个数的元素，不考虑排序。排列组合的中心问题是研究给定要求的排列和组合可能出现的情况总数。 排列组合与古典概率论关系密切。

排列、组合、二项式定理公式口诀：

加法乘法两原理，贯穿始终的法则。与序无关是组合，要求有序是排列。

两个公式两性质，两种思想和方法。归纳出排列组合，应用问题须转化。

排列组合在一起，先选后排是常理。特殊元素和位置，首先注意多考虑。

不重不漏多思考，捆绑插空是技巧。排列组合恒等式，定义证明建模试。

关于二项式定理，中国杨辉三角形。两条性质两公式，函数赋值变换式。

什么是排列组合?最好举几个例子最好举几个例子？

A开头的叫排列，C开头的叫组合
在这里，因为课本给出的公式比较复杂，答者在这里给几个通俗易懂的例子，注：这里的C(6,2)，6在下，2在上，与念法一样，后同。
A：A（6，2）=6*5，即下面的数往回乘2个，其中上面的数必须小于下面的数，同样的有：
A（7，3）=7*6*5；
A（8，1）=8；
A（100，99）=100*99*98*……*2。

C：C（6，3）=6*5*4/（3*2*1），可以理解为A（6，3）除以A（3，3），文字描述就是分子为 下面的数开始往回乘上面的数个单位，也就是6*5*4，分母为上面的数往回乘上面的数个单位，也就是3*2*1（通常大多数分母都是该数往回乘到1）
同样的，有：
C（8，4）=8*7*6*5/（4*3*2*1）；
C（9，2）=9*8/（2*1）
C（100，99）=100*99*98*……*2/（99*98*……*1）=100=C（100，1）
由此可以得出组合数的一个性质：C（m，n）=C（m，m-n），m>n
以上便是A与C的详细例子，如果因为括号太混乱，也请问者多多包涵，在草稿纸上写一写方便理解

排列和组合怎么区别？

看问题是否和顺序有关，有关就是排列，无关就是组合。

1、排列：比如说排队问题甲乙两人排队，先排甲，那么站法是甲乙；先排乙，那么站法乙甲，是两种不同的排法，和先排还是后排的顺序有关，所以是A(2,2)=2种。

2、组合：从甲乙两个球中选2个，无论先取甲，在是先取乙，取到的两个球都是甲和乙两个球，和先后取的顺序无关，所以是C(2,2)=1种。

扩展：排列组合的中心问题是研究给定要求的排列和组合可能出现的情况总数。 排列组合与古典概率论关系密切。

排列的定义：从n个不同元素中，任取m(m≤n,m与n均为自然数,下同）个元素按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列；从n个不同元素中取出m(m≤n）个元素的所有排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数。

排列组合的计算方法，别只是个公式，举个例子写的具体点？

标准的排列组合

先看一个例子 (1)：

三个城市 A，B，C，从 A 到 B 有三条路 a?, a?, a? ，从 B 到 C 有两条路 b?, b?，问 从 A 到 C 有多少种走法？

解：

要 从 A 到 C 就 必须选择一条 A 到 B 的路 a 和 一条 B 到 C 的路 b，然后连成 A 到 C 的路 ab。

a 可以是 a?, a?, a? 有3种选法，b 可以是 b?, b? 有3种选法，于是根据日常的经验，ab 的可能有：

所有 ab 总共有 3 × 2 = 6 种可能。

这个例子就是 乘法法则：

若具有性质 a 的事件有 m 个，具有性质 b 的事件有 n 个，则 同时具有 性质 a 和 b 的事件有 m × n 个。

因为，

令 a 的 m 个事件为 a?, a?, ..., a_m，b 的 n 个事件为 b?, b?, ..., b_m，则根据日常的经验，ab 的可能有：

乘法法则，还可以从 两项 扩展到 任意有限多项：

若具有性质 a?, a?, a?, ..., a_n 的事件分别有 m?, m?, m?, ..., m_n 个，则 同时具有 性质 a?, a?, a?, ..., a_n 的事件有 m? × m? × m? × ... × m_n 个。

因为，

然后利用 两项的乘法法则，就得到：

再看一个例子 (2)：

总共有三个球 ①②③，从中挑选出两个排成一列，问有多少种挑选方案？

解：

挑出两个排成一列，分两步，

先从三个球 中任意 挑出一个球 a 放在序列的第一位；

再从挑剩下的 二个球 中 中任意 挑出一个球 a 放在序列的第二位；

这样就组成了 ab 的序列。构建 ab 序列的过程 和 例子 (1) 组成路线的过程 类似，因此 也 符合乘法法则。因为 a 是 3 选 1 有 3 种可能，b 是 2 选 1 有 2 种可能，所以 构建 ab 序列 有 3 × 2 = 6 种可能，具体如下：

例子 (2) 就是 从 3 中取出 2 的排列，更一般地定义为：

从 n 个元素 中取出 m(≤ n) 个元素 排成一列，称为 从 m 中取出 n 的 排列，排列的方案个数称为排列数，记为 P(n, m)。

从 m 中取出 n 的 排列的构建过程如下：

根据 乘法法则，有：

P(n, m) = n(n-1)(n-2)...(n-m+1)

而：

n! = n(n-1)(n-2)...(n-m+1)(n-m)(n-m-1)...1

(n-m)! = (n-m)(n-m-1)...1

故，

P(n, m) = n!/(n-m)!

比较特别的是：

从 n 中取出 n 个 的排列，就是 对 n 个元素进行各种排列，称为 全排列 ，P(n, n) = n!/(n-n)! = n!/0! = n!；

从 n 中取出 0 个 的排列，称为 零排列 ，P(n, 0) = n!/(n-0)! = n!/n! = 1；

将 例子 (2)，改为 (2')：

总共有三个球，从中挑选出两个不考虑顺序，问有多少种挑选方案？

解：

我们前面已经 计算出了序列 ab 的排列数 P(3, 2)，所谓不考虑顺序，也就是说，两个元素 a, b 的各种排列：ab, ba 算一种方案。

两个元素 a, b 的各种排列，就是 2 的全排列，即，P(2, 2)。于是 只需要 用 P(3, 2) 除以 P(2, 2) 就是 答案了：

P(3, 2) / P(2, 2) = 3!/((3-1)!2!) = 3

例子 (2') 就是 从 3 中取出 2 的组合，更一般地定义为：

从 n 个元素 中取出 m(≤ n) 个元素 不考虑顺序，称为 从 m 中取出 n 的 组合，组合的方案个数称为组合数，记为 C(n, m)。

根据例子 (2') 中的分析，有：

C(n, m) = P(n, m) / P(m, m) = P(n, m) = n!/((n-m)!m!)

比较特别的：

从 n 中取出 n 个 的组合，C(n, n) = n!/((n-n)!n!) = n!/(0!n!) = n!/n! = 1；

从 n 中取出 0 个 的组合，C(n, 0) = n!/((n-0)!0!) = n!/(n!0!) = n!/n! = 1；

一些特殊的排列组合

考虑，问题 (3)：3 个人去饭店吃饭，围坐在一张圆桌前，问有多少种坐法？

围坐成圈不同于排成一列，这是一种新的排列方式，于是定义：

从 n 个元素 中取出 m 个元素 排成一圈，称为 圆周排列，将 圆周排列数 记为 Q(n, m)。

分析：

对于标准排列，可得到的序列：

若将序列排成一圈，

则显然，下面的 m 个排列只能算一种：

故，

Q(n, m) = P(n, m) / m

根据上面的分析结果，显然，问题(4) 的答案是 Q(3, 3) = P(3, 3) / 3 = 2，即，顺时针坐 和 逆时针左。

在排列组合中，默认挑选出来的m个元素是不能重复，但如果允许重复呢？

将 例子 (2')，改为：

总共有三个球，从中挑选出两个不考虑顺序，不过每次挑选时会将球的号码记录然后将球放回，问有多少种挑选方案？ (2''-1)

有两个箱子，每个箱子里装着完全相同的三个球，从每个箱子里挑选1个不考虑顺序 ，问有多少种挑选方案？ (2''-2)

(2''-1) 和 (2''-2) 本质是相同的，下面以 (2''-1) 为例。

分析：

首先，可以用穷举法。①②③ 中有放回的挑选2个球 组合，按照从小到大的排列顺序，有如下可能：

①①、②②、③③、①②、①③、②③

共有 6 种。

其次，可以将 有重复组合 转化为 无重复组合，方法如下：

对于任何一次的有重复组合结果，按照 从小到大的排列：

a? ≤ a?

让 原来三个小球中 号码比 a? 大的小球的号码 都加 1， 然后 将 小球 a? 的号码 也加 1 并 添加到 三个小球 中。

这样以来，就将 从 3 个小球中 有放回的挑选 2 个组合 变为 从 4 个小球 中 无放回的挑选 2个组合。

具体操作如下（黑底为修改过的球）：

将 ①②③ → ①① 改为 ①??? → ①?

将 ①②③ → ②② 改为 ①②?? → ②?

将 ①②③ → ③③ 改为 ①②③? → ③?

将 ①②③ → ①② 改为 ①②?? → ①?

将 ①②③ → ①③ 改为 ①②③? → ①?

将 ①②③ → ②③ 改为 ①②③? → ②?

反过来，对于从 4 个小球 ①②③④，无放回的挑选两个的组合结果，从小到大的排列顺序排列：

a? < a?

让 原来 4 个小球 中 号码大于 a? 的小球的号码 都减 1，然后 将 a? 从 4 个小球 中 去除，并将 a? 的号码也 减 1。

这样以来，就将 从 4 个小球中 无放回的挑选 2 个组合 变为 从 3 个小球 中 有放回的挑选 2个组合。

具体操作如下（黑底为修改过的球）：

将 ①②③④ → ①② 改为 ①?? → ①?

将 ①②③④ → ①③ 改为 ①②? → ①?

将 ①②③④ → ①④ 改为 ①②③ → ①?

将 ①②③④ → ②③ 改为 ①②?→ ②?

将 ①②③④ → ②④ 改为 ①②③ → ②?

将 ①②③④ → ③④ 改为 ①②③ → ③?

上面的事实说明：

3 取 2 有重复的组合数 ≡ 4 取 2 无重复的组合数，即，C(4, 2) = 6。

将 3 取 2 的情况 扩展到 n 取 m 有：

将 n 个数 取 m(≤ n) 个 有重复的组合 的结果，按照 从小到大的排列：

a? ≤ a? ≤ a? ≤ ... ≤ a_m (4)

对每个 a?（i = 2, 3, ..., m） 重复一下操作：

让 被挑选数集 以及 (4) 中 所有比 a? 大的数都加 1， 然后 将 a? 加 1，并将 a? 添加到 被挑选数集 中取；

这样以来，就将 n 个数 取 m(≤ n) 个 有重复的组合 变为 n+(m-1) 个数 取 m(≤ n) 个 无重复的组合。

反过来，对于 n+(m-1) 个数 取 m(≤ n) 个 无重复的组合 的结果，按照 从小到大的排列顺序排列：

a? < a? < a? < ... < a_m (5)

对每个 a?（i = 2, 3, ..., m） 重复一下操作：

让 被挑选数集 以及 (5) 中 所有比 a? 大的数都减 1， 然后，将 a? 从 被挑选数集 中删除， 并将 a? 在 (5) 中也减 1；

这样以来，n+(m-1) 个数 取 m(≤ n) 个 无重复的组合 变为 就将 n 个数 取 m(≤ n) 个 有重复的组合 。

综上，就证明了：

n 个数 取 m(≤ n) 个 有重复的组合 ≡ n+(m-1) 个数 取 m(≤ n) 个 无重复的组合

最终结果：

从 n 个元素 中取出 m 个元素，有重复组合 的组合数为：C(n+(m-1), m)。

题目： 从 A = {1,2, ..., n} 个数 中取 m(≤ [n / 2]) 个，不相邻组合，即，不存在包括 i 和 i + 1 的组合，问组合数是多了？

分析：

这里使用类似 有重复组合 的思路，将 不相邻组合 转化为 等价 的 标准组合。方法如下：

对于 从 A 个数 中取 m 个 的不相邻组合 的结果，按照从小到大的顺序排列：

a? < a? < a? < ... < a_m (6)

对每个 a?（i = 2, 3, ..., m） 重复一下操作：

让 A 以及 (6) 中 所有大于 a? 的数都减去 1，并将 a? 从 A 删除，最后 在 (6) 中 让 a? 减去 1。

这样以来，就将从 A 中取 m 个 的不相邻组合 变为 从 A’ = {1, 2, ..., n - (m-1) } 中取 m 个 的标准组合。

反过来，对于 从 A’ 中取 m 个 的标准组合 的结果，按照从小到大的顺序排列：

a? < a? < a? < ... < a_m (7)

对每个 a?（i = 2, 3, ..., m） 重复一下操作：

让 A' 以及 (7) 中 所有大于 a? 的数都加上 1，并将 a? 也加上1 然后添加到 A' 中。

这样以来，就将 从 A’ 中取 m 个 的标准组合 变成 A 中取 m 个 的不相邻组合 。

综上，就证明了：

从 A = 中取 m 个 的不相邻组合 ≡ 从 A’ 中取 m 个 的标准组合

最终结果：

从 A = {1,2, ..., n} 个数 中取 m(≤ [n / 2]) 个，不相邻组合　的组合数为：C(n－(m-1), m)。

最后，除了以上介绍的这些较为基础的排列组合外，还有大量的排列组合问题存在，例如：

将 被选择集合 进行分类，比如：分为男女， 然后 对排列组合结果进行限制，比如：男女相等，男女相邻；

总之 排列组合的算法根据 具体问题不同而异，具体在进行解题时要发挥聪明才智，做到灵活多变，不要强行照搬套路。

由于篇幅有限，只能回答到这里了。

（本人数学水平同样有限，所以出错在所难免，非常欢迎各位老师批评指正。）