实验设计与分析(实验设计与分析2：简单比较实验)

实验设计与分析

搭建场景
部门购买了两款商业基础培养基，领导下达任务，让你尽快分析出哪一款商业培养基更有助于细胞生长。于是你设计了如下实验：两种商业培养基分为2组，每组做10个相同条件下的摇瓶批培养实验，得到最大活细胞密度，最终收集到20个数据（见表1）。通过比较你发现不能直观的判断出哪组结果更好，接下来，你翻开了本章内容……
表1. 两种商业培养基培养细胞的最大活细胞密度

01
目的与方法

通过设计实验，我们把目标等价于：比较两组培养细胞的最大活细胞密度哪一组更高。在这里，可以用假设检验(hypothesis testing)的统计推断方法，这种方法也称为显著性检验(significance testing)。

02
回顾几个简单的统计学概念

试验(run)：实验中的每一次观测称为一次试验。

误差(error)：试验结果上存在的波动或噪音，由不可控变异引起。

随机变量(random variable)：由误差或噪音导致变量（即最大活细胞密度）具有随机性。

03
如何直观地比较两组数据的差异

如果实验数据较少（如本次实验）可采用点图(dot diagram)的形式，能够直观地看出每组数据的总体位置、中心趋势和分散程度，从而比较两组数据在这三个方面的异同（见图1）。

图1.最大活细胞密度数据分布的点图

如果实验数据较多，可采用箱型图(box diagram)的形式来比较（见图2）。对于其中的某一组数据，可采用直方图(histogram)来观察其特征（见图3）。

图2.最大活细胞密度数据分布的箱型图

图3.最大活细胞密度数据分布的直方图

04
如何度量一组数据的特征

通过图示法，几乎可以直接得出结论：第二组的细胞生长情况要好于第一组。但如何描述呢？我们需要量化地比较两组数据的特征参数来证明。

均值(mean)μ：用来描述总体分布的中心位置，由于在实验中只能用样本数据分布来估计总体分布，所以用样本均值y拔来估计总体均值μ。

方差(variance)σ2：用来描述总体分布的分散程度，同样可以用样本方差S2来估计总体方差σ2。

05
如何通过建立模型比较两组数据

通过比较样本的均值和方差，我们可以量化地评估两组数据，可是还是不够直观。如果能够建立一个模型，同时包含均值和方差这两个信息，是不是就更方便了。

接下来利用DOE语言描述建模过程：

两种培养基称为2个因子水平，最大活细胞密度称为响应，每个实验数据都是响应值。假设2个因子水平的响应值服从正态分布(μi, σi2), i=1, 2，误差同样服从正态分布(0, σi2), i=1, 2，由此可建立数学模型来描述实验结果：

yi,j = μi + εi,j   i=1,2; j=1,2,…,n

注：
yi,j表示第i个因子水平的第j个响应值；
μi表示第i个因子水平的响应均值；
εi,j表示模型的误差（与方差有关）。

如何利用模型进行比较呢？目前已知的条件有：样本量n1和n2，样本均值y1拔和y2拔，样本方差S12和S22（见表2）。两种培养基培养细胞的最大活细胞密度的方差未知，由于样本方差相似，我们可认为总体方差σ12=σ22。我们的目标就量化为比较总体均值μ1和μ2哪个值大。假设H0: μ1≥μ2（μ1≤μ2也可）。

表2.最大活细胞密度重要参数汇总

我们选择计算出一个合适的检验统计量，这个统计量用来检验假设μ1≥μ2是否成立。此外，我们给这次检验设置一个容错率α，即显著性水平。一般设置α=0.05，只要检验统计量有95%的概率落在其分布内，那么我们的假设就是正确的。否则，若 t0＜tα,n1+n2-2 就拒绝假设。

有了理论基础，接下来我们来比较两个培养基水平最大活细胞密度的均值μ1和μ2。假设H0: μ1≥μ2，用于比较均值的检验统计量为t0，即使用双样本t检验。

由于：
其中：
带入数据得：t0=-2.20。

由参考分布图（见图4）可看出：t0=-2.20＜t0.05,18=-1.734，所以我们拒绝H0: μ1≥μ2。同时得出结论：VCDmax1＜VCDmax2，即在促进细胞生长方面，2号培养基要优于1号培养基。

图4.双样本t检验概率分布图

当t0=tP,18=-2.20时，P=0.021，这里的P值时数据显著时的最小α水平，也就意味着：假设H0: μ1≥μ2在显著性水平α≥0.021时将被拒绝。

06
如何检验总体的正态假设和等方差假设

利用正态概率图可检验方差齐性和正态性假设。如图5所示，横坐标为响应变量，纵坐标为累积正态频率，将数据从小到大进行排序，放入正态概率图中。在25%和75%的点之间画一条直线，如果所画的点近似落在一条直线上，可以认为总体服从正态分布；如果两条直线有相似的斜率，可以认为总体的方差相等。

图5.正态概率图

07
如何量化均值差异

其实通过点图和箱型图，我们能够看出来μ1≤μ2，所以可能没有必要去证明这个结果，有时候我们更关心μ1和μ2的差距有多大，即均值差：μ1－μ2。如同之前提到的显著性水平，我们同样要为这次检验设置一个容错率1－α，即置信系数。若α=0.05，那我们就有95%的把握认为结果是正确的。由于存在容错率，我们得出的均值差就不是一个精确值，而是一个范围，这个范围就称为均值差95%的置信区间(confidence interval)。

为得出均值差μ1－μ2的置信区间，需要一个同t0作用一样的检验统计量，这个检验统计量我们同样用t0来表示。

这里：
故：
由此推出：
代入数据得：-0.55≤μ1－μ2≤-0.01，故均值差μ1－μ2的95%置信区间为[-0.55, -0.01]。换一种说法，置信区间为：μ1－μ2=-0.28±0.27×106cell/mL。也就是说，两组实验最大活细胞密度的差异为-0.28×106cell/mL。

08
如何比较两个总体的方差

如之前所述，我们可以比较正态概率图中两条直线的斜率，来判断两组数据的方差是否相等。但是通过观察，感觉两条之间的斜率存在一定的差异，那么如何量化这个差异呢？

我们假设H0: σ12=σ22，用于比较方差的检验统计量为F0，即F检验。

由于：
如图6所示：

图6.F检验概率分布图

可知：
故接受假设H0: σ12=σ22，认为两组实验最大活细胞密度的方差相等。

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