加法交换律（小学数学教师数学读本（19）——加法交换律（一））

加法交换律

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虽然人教版四年级上册“加法交换律”是学生第一次探索运算定律，但其实在一年级到三年级的学习中，常常涉及交换加数位置和不变的情况，例如加法解决问题的一题多解，加法的验算等等。那么本节课应该教什么，学生又能从本节课取得什么收获呢？
基于上述思考，本片段更多侧重数学规律猜想验证的过程体验和经验积累。引导学生从几个算式中发现现象，提出猜想：在加法中，是否交换加数的位置，和一定不变呢？接着，用不同的方法进行验证。不管是计算、画图、还是说理，殊途同归，最终统一于加法的本质，把几个数合并为一个数，只要这几个数的大小不发生改变，不管先后顺序如何，合并在一起后，和都不变，学生达成共识，形成结论。接着再利用结论解释现实世界中的现象，解决实际问题，提升应用意识。这样，学生经历了观察、猜想、验证、归纳、应用的完整的数学化过程，形成了基本的数学探究方法，对于后续的学习将大有裨益。
小学数学教师数学读本（19）——加法交换律（一）
加法交换律
写在前面的话：反对教加法交换律
我是反对在小学教学生学习加法交换律的。
原因之一在于，象加法交换律这样的东西，如果不追求深刻的理解，就是个简单得不能再简单的东西。若追求深刻的理解，就是个很复杂的东西。在很简单与很复杂之间几乎没有中间状态。也就是说，如果我们不给小学生教加法交换律，他们也能理解（尽管不深刻）并能运用。如果我们教小学生加法交换律，他们也不能做到更深刻一些的理解。
原因之二在于，我们通常教加法交换律的方法，其实已经陷入了一个逻辑问题之中：我们的教法通常是让学生举例验证。比如46+59是否等于59+46，如何验证呢？计算46+59，6+9=15…，再计算59+46，9+6=……9+6等于多少来着？哦，对了，我们在一年级的时候就学过了，9+6和6+9一样，也是15……您注意过没有，我们在验证加法交换律的过程中，就应用了交换律。
象加法交换律这样的东西，只有到了抽象的研究运算时才值得注意。抽象的研究运算是什么时候呢？数学专业有一门课程，叫抽象代数，也叫近世代数。学这门课的时候开始抽象的研究运算。其实您也可以回忆一下。小学之后，您在初中，高中教材中还看到哪里正儿八经的提交换律吗？高中讨论集合的交也并的时候，也许会谈一谈。高中选修课中讲对称也群时会认真谈，因为这门选修课就已经到了抽象代数了。
我们数学老师，当然可以试着深刻的理解一下。接下来就谈自然数加法满足交换律。
说明：我们只谈自然数，以后的数和数的运算，都建议在自然数及其运算的基础上。自然数的问题解决了，其他数的问题不难解决。
现在来谈加法交换律
回忆一下加法的意义
应该回忆一下，我们已经用归纳的方法定义了两个数相加的意义。举例并形象的说，48+121是什么意思？得慢慢说：因为皮亚诺公理，48在自然数队伍中有一个确定的位置。它是47的后继数（你若实在不喜欢后继数这个名字，就说成是后面那个吧），你问我48+121是什么意思？这样说吧，因为48是47的后继数，这事你得找47+121，如果把这个确定了，那它后面那个，就是48+121（您要不回头再看看这几句话？）没错！我们就是说48+121是在47+121的基础上定义的。那又来了，47+121呢？肯定是在46+121的基础上定义的：47+121是46+121的后面那个。如此往上，最终……慢点，先别最终，先问问1+121呢？告诉你吧：1+121就是0+121后面那个（看到没？在不停的踢皮球）那0+121呢？这回只能直接回答了：0+121就是121.哦，现在一切都好了。0+121是121，1+121是0+121（从而就是121）后面那个（皮亚诺公理告诉我们，121后面那个是确定的），2+121又是1+121后面那个，这样下去，47+121就是确定的了：47+121是0+121（也就是121）的后面那个的后面那个的后面那个的……后面那个（想想，有多少个后面吧），其实每个数加121都是确定的了（后面的个数不同而已），进一步，任意两人个数相加都是确定的了（找不同的数的后面的后面的……如此而已）。把这件事写得规范一点，就是加法的归纳定义。查查本号昨天发的文章？
加法交换律之一
加法交换律：对于任意的自然数a和b，有a+b=b+a。
我们将利用公理5，用数学归纳法证明这个结论。为此，我们把加法交换律理解为对任意的自然数b，以下的系列命题均成立（用数学的行话是：固定b，对a作归纳）：
0+b=b+0
1+b=b+1
2+b=b+2
3+b=b+3
……
为了证明这无限多个命题均成立，按数学归纳法原理，我们要完成以下两项工作：
一、证明这些命题中的第一个成立。
二、再证明：若这些命题中的某一个成立，比如k+b=b+k成立，那么这个命题的下一个命题也成立，即有（k+）+b=b+(k+)（这里的k+指k的后继）。
（还记得我们讲过的传染源和传染性的事吗？不记得了或者没看过？查查本号历史信息！）
我们依次来完成第两项工作，首先：
证明：对于任何自然数n，有n+0=0+n。
我们定义了0+n=n，所以要证明n+0=0+n，只要证明n+0=n。
我们将继续用归纳法来证明这个结论。并且，将继续把证明写得罗嗦一点。甚至不太象规范的证明，目的还是把数学归纳法的思想实质表达得明白一些。
要证明对于任何自然数n，有n+0=n，事实上就是要证明以下一系列命题：
0+0=0
1+0=1
2+0=2
3+0=3
……
上述第一个命题（即0+0=0）显然是成立的，因为这就是加法的定义——对任何m,0+m=m，只要让m取0就行了。
若上述中的某一个命题成立，比如k+0=k成立，我们来看看它的下一个命题，即(k+)+0=k+是否成立。我们将证明：如果k+0=k成立，那么(k+)+0=k+也成立。
根据定义：(k+)+0=（k+0）+，而 k+0=k成立，所以：
(k+)+0=（k+0）+=k+
根据数学归纳法原理，对于任意的自然数n,有n+0=n，从而n+0=0+n。
只能讲这么多，第二件事明天再做