随机事件的独立性教案、视频与听课教师的评论

不想看文字的人可以下楼直接看视频，不过还是耐心看一看好。?

1、同课异构的目的

? ? ? 有人经常把同课异构理解成几个人之间的PK，这是对同课异构的误解。既然异构，何来PK？我对PK从来都没有兴趣！从事了几十年的教学工作，尝试过很多种类型的教学方法。被很多人听过课，也听过很多人的课，但从未参加过任何教学竞赛！我的兴趣点一直是：“什么是真正的数学教育？”通过同课异构，我想探索几个问题：

1、数学课堂该强调什么？如何体现素质教育或目前如火如荼地开展的核心素养的培养？

2、什么样的数学教学是有效的教学？如何评判这种有效性？

3、在数学教育与应试教育之间能不能找到平衡点？

2、同课异构的内容

理解随机事件的独立性关键在条件概率，如果条件概率搞清楚了，事件的相互独立性自然水到渠成。这里需要说明两点：1、两个随机事件互斥与两个随机事件的概率具有可加性并不等价，两者不能混为一谈。2、两个随机事件互斥与两个随机事件相互独立不能做简单类比，实际上互斥是在一个特定样本空间中考虑的，而两个相互独立的随机事件未必在同一个样本空间中，例如田忌赛马故事中齐威王的出马顺序与田忌的出马顺序构成两个不同的样本空间，所以两件事都发生不能写成两个对应子集的交，即使两个随机事件样本空间是一样的，分析它们的独立性往往也需要“升维”构造新的样本空间，即作两个样本空间的笛卡尔积，在笛卡尔积中可以将两个随机事件都发生写成两个集合的交。也正因为如此，公理化概率论中将两个随机事件都发生笼统写成了两个集合的交以便于统一，但在实际分析独立重复实验时需要根据目标确定相应的样本空间。

中学教师习惯于通过各种各样例子的练习让学生慢慢熟悉概念，问题是这样真的把概念搞清楚了吗？本节课的初衷是先帮助学生复习条件概率，再过渡到事件的独立性，计划5-10分钟左右完成复习任务，但令我意外的是，学生对条件概率一知半解，并没有真正搞清楚，只好详加辨析，为此花去了20分钟左右的时间，否则后面的思考题就可以在课堂上完成了。我主张一个观点，在概念的内涵没有搞清楚之前，不能盲目的进入练习环节。当然，在辨析概念的过程中，可以通过各种例子帮助学生理解，但例子不宜复杂，越简单越好，以能说明问题为准。以下是本人的教案全文，我并未事先提供所谓的学案，这里就不加解释了，大家结合视频自己分析吧。

3、教案

随机事件相互独立的意义与启示

一、温故

问题1?请叙述一下条件概率的定义

在已知事件B发生的条件下事件A发生的概率

? ? ? P(A|B)=P(AB)/P(B)。

问题2条件概率中的P(AB)是什么意思？

问题3如果两件事同时发生呢？他们有没有可能相互关联？

1、天边飘来一朵云，云端洒下几滴雨，一滴雨砸在了我的脸上，在我身边的你有没有被雨砸中？

2、两人同时抛掷硬币

问题4?如果两个事件的发生有先后顺序，先发生的事件对于后发生的事件一定有影响吗？举例说明

1、你想上北大，你考多少分与你能不能进北大有必然关系吗？

2、一个人先后抛两次硬币

二、知新

两件事无论是同时发生或有先后顺序发生，一件事的发生对另一件的发生都可能产生影响，也可能没有影响。如果两件事相互间没有影响呢？我们如何描述这两个随机事件的关系？

定义：如果随机事件B发生与否对随机事件A发生的可能性没有影响，反之亦然，则称事件A与B是相互独立的随机事件。

问题5如何用数学公式描述两件事件的相互独立性？

(1)????(?|?)=?(?)

(2)??当两个随机事件相互独立时，则它们都发生的概率为：

? ? ? ?(??) =?(?)?(?)

问题6还记得田忌赛马的故事吗？这个故事可信吗？说说你的理由，并用数学方法解释一下在这个故事中田忌为什么必赢？

设A为齐威王所有可能的出马顺序，B为田忌所有可能的出马顺序，A与B有多少种可能的结果？

记A={A1,A2,…,A6}，B={B1, B2,…,B6}

齐威王与田忌比赛所有可能的方式有多少种？

?W={A1B1,...,A1B6,A2B1,...A2B6,...A6B1,...,A6B6}。

记事件C为田忌胜，则

C={A1B1, A2B2,…,A6B6}

于是

? ? ?P(C|Ai)=P(CAi)/P(Ai)=(1/6)/(1/6)=1。

竞赛规则是否允许对方事先知道自己的出马顺序？如果双方同时出马呢？田忌胜过齐威王的概率有多大？

解法1:记事件C为田忌胜，则

? ? ? ? ? ? C={A1B1, A2B2,…,A6B6}，

于是

? ? ? ? ?P(C)=6/36=1/6。

解法2:记事件C为田忌胜，齐威王出马顺序为Ai(i=1,…,6)的概率为

? ? ? ? ?P(Ai) =1/6,

田忌出马顺序为Bi(i=1,…6)的概率为

? ? ? ? P(Bi) = 1/6

? ? ? ? P(BiAi)=P(Bi)P(Ai)

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? =(1/6)(1/6)=1/36

P(C)=P({A1B1, A2B2,…,A6B6})

? ? ? ? ? ? ? ?= P(A1B1)+…+P(A6B6)

? ? ? ? ? ? ? ?=1/36+…+1/36=1/6。

问题7随机事件的独立性带给我们什么启示？能否解释一下，工程招投标为什么要同时揭标而不能有先后顺序？

问题8摸奖通常是有先后顺序的，为什么摸奖时通常只在纸条上写上号码而不写几等奖？大家获得一等奖的概率都一样吗？能否以两人摸奖为例说明你的观点？

三、思考

1.?如果A与B是相互独立的随机事件，1-P(A)P(B)表示什么？

2.?如果事件A与事件B相互独立，那么事件A与事件B的对立事件也相互独立吗？

3.?一位女士生了两个孩子，你看到了两个孩子中的一个，发现个是女孩，这个女孩对你判断她另一个孩子的性别有帮助吗？

四、练习

P62 1、2

4、听课教师的主观评判

? ? ? ?以下是收到的部分教师的听课感受，针对我的课指出的主要问题是课堂容量偏小以及练习偏少，有教师认为：“带有理想情怀的课堂模式在高中有限的40分钟时间内，总是显得课堂容量不够，这也是面对高考指挥棒时很难解决的一个问题。”的确，教育不得不围绕着高考指挥棒，但什么是真正的数学教育？什么是真正的素质教育？这是我通过这节课试图回答的问题。在素质教育与应试教育之间如何寻找平衡点？一节课肯定说明不了问题。

老师甲：

第一节：李锦万老师由具体问题复习旧知引入，通过计算发现事件A是否发生对事件B发生的概率没有影响，介绍事件的相互独立性，并得出两个判断方法。然后通过一系列精心设计的问题逐步巩固概念，运用新知，并在最后让学生相互出题并解答。

第二节：彭海燕老师通过问题串的设计强调了相互和独立，从计算的维度定义相互独立事件，特别是同一个问题，改变了数字，比例不同，是否相互独立就不一定了。

第三节：曹广福教授的课从田忌赛马引入，花了半节课厘清了条件概率，引入了相互独立事件的定义，并利用投标的情境让学生应用所学。

作为中学老师，我觉得第一节课自然流畅，上课效果好，第二节课对问题的设计变式揭示独立性的计算本质很特别，第三节课的引入非常引人入胜，概念清晰，但是学生的应用方面可能还需要更多的示范。

老师乙：

李锦万老师

教学设计精心，例题设置恰当。教师文学素养高，课堂随处渗透名著名句，给予学生做人做事的道理，鼓励学生认真学习。课题教学主线突出：旧知引入不仅仅是简单的复习，案例2起到承上启下的效果。案例5两问设置巧妙，刚好包括独立和不独立事件，是学生有些事件不能直观判断时，只能通过计算检验。环节四是本课亮点，让学生自行命制相关题目，考验学生对知识的融会贯通。在这个环节上，学生是会有难度的。对于生活经验不丰富的同学可能联系不上生活。老师在这里了解学情，有对应情景的指导，如投篮等给学生指明思考方向。同时，当学生表达不准确时，老师有给予学生关于设置概率合理性的提醒。所以这个环节既能放又能收，体现老师的教学功底。是一节非常优秀的研讨课。

建议：环节4为了防止学生对概率设置的不合理型，可以给出题干，让学生设置问题。

彭海燕老师

彭老师作为教研员，对佛山学生整体学情了解到位。针对学情精心设计教学方案区分几个易混易乱的概念。以问题驱动的方法，步步提升学生的概念认识。感受直观与理性、独立与互斥的区别。问题设置有一定的深度，即使在学生已经学习过本节内容的前提下再上这节课也收获满满！

建议：课堂中教师只是使用了PPT给学生总结和分析。最好把重要的总结和分析板书一下，避免刷屏，留有教学痕迹方便学生记录和课后复习与思考。毕竟这节课的问题设置还是有一点的深度，从学生的反映情况看会有一部分同学没跟上。

曹广福教授

曹教授的课很明显比之前两位老师的站位都要高。教授表达风趣幽默、例子设置吸引。

建议：如果这节课有学案提供学生和老师们会更好。因为没有学案和课件没有看清，本人有点跟不上。所以，感觉有很多没听清的遗憾。

老师丙：

周四的三节课均为明显的个人风采，中学老师的授课方式有较强的方向性，即课堂的内容安排和高考考点明显相关，重视公式运用的的条件还有使用时的注意事项，力求学生书写严谨，这也是一线教师最常用的容易得分教学模式；教研员的设计思路有一定高度和深度，也重视了概念的辨析和例题的应用，但可能是对课堂稍显生疏所以并没有把他的教学思路完整呈现出来，且重难点似乎有点分散；大学教授的处理非常注重概念的生成和定义的合理性，在概念辨析方面着墨较多，力求让学生熟悉并掌握一种面对陌生情境问题如何建构合理解决路径的数学能力，但是会给习惯于在做题过程中巩固认知和反复校正理解的高中学生带来一定的不适应，高中生习惯了通过几个具体问题多角度练习达到熟练掌握的目的，所有带有理想情怀的课堂模式在高中有限的40分钟时间内，总是显得课堂容量不够，这也是面对高考指挥棒时很难解决的一个问题。

教师丁：

第1节课（李锦万老师授课）在旧概念的基础上建构新知识，结合经典的摸球问题，让学生回顾不同事件的概率加法、减法和除法公式，引出问题:什么条件下用概率乘法公式？用古典概型让学生验证独立事件的概率乘法公式，更加直观、直接地接受了新知识。该教师在传授知识的同时，渗透社会主义核心价值观，增强了人文关怀，体现了数学课堂培养核心素养的同时，兼备育人功能。不足之处，举例时语速稍快，学生不一定听明白了。该老师十分年轻，笑容可掬，神采奕奕，整堂课充满激情地传递着正能量，看得出他是一位有教育情怀且笃定前行的好老师，相信不久的将来，他能走得更高更远。 ? ? ? ? ? ??

第2节课（彭海燕主任授课）老师在授课前做了大量的准备工作，从问题引入的必要性及理论基础，到学情和教学问题诊断，对授课内容进行了详细分析，做到对授课内容和对象了如指掌，从而目标清晰，任务明确。老师在教学新知时循循善诱，对于独立性问题通过三个环节:认识—理解—应用，经典提问是:两个事件相互独立取决于什么？让学生的认知螺旋式上升，充分发挥了学生的主动性。不足之处，由于跟学生第一次接触，课堂上的师生互动不够活跃。 ? ?

第3节课(曹广福教授授课)大学教授的课堂设计明显区别于中学教师的地方:1.在引入随机事件独立性概念之前，用了超过15分钟的时间对条件概率的概念进行了辨析。这种处理方式对于中学老师来说一般是不敢尝试的;2.提出的问题“式子P(A|B)=P(AB)/P(B)是定义还是推出来的公式？”是我从来没有深究过的问题，突然被提问，醍醐灌顶，深受启发；3.通过学生熟悉的田忌赛马的故事，引入条件概率与独立随机事件的概率计算问题，又衍生到工程投标等更加贴近生活的实例，让学生感悟数学思想在生活中的体现的同时，很好地理解了数学知识。教授把枯燥的数学课堂教学变得生动有趣，学生感到数学学习非常有用、能广泛地解决生活中的问题，从而大大提高了学习数学的积极性和兴趣，教学效果自然倍增。以上与中学教师的常规处理的至少三点的不同，展示了曹教授对学科知识炉火纯青的把控、凝炼有力的底气和高屋建瓴的从容，受益匪浅！遗憾的是，报告厅太大，学生有点拘谨，老师无法自如地书写推理过程。 ? ? ? ? ? ? ?

5、三位老师的教学视频

石门中学李锦万老师的视频

佛山教研室副主任彭海燕的视频

我的视频