从我命制的一份数学试卷看我理解的数学素养

1. 话说数学素养。

数学素养与数学文化成了炙手可热的热门词，动辄素养、文化，那么到底什么是素养？什么是文化？如何考察？围绕着素质教育的改革可谓五花八门，这样的改革真的对我们的课堂发挥了改革者所说的作用了吗？改革者真的知道我们的课堂需要什么吗？

哈尔莫斯说：“具备一定的数学素养比具备一定量的数学知识重要得多。”我很认同这句话，但有两个方面的问题值得我们思考：

1．数学素养是通过什么方式培养的？

2．数学素养可以考察出来吗？如何考察？

限于篇幅，这里无意展开长篇大论，下面这份考题是我今年讲授课程的期末试卷，它基本反映了我理解的数学素养。如果没有完整并认真听过我的课，仅仅依赖于自学恐怕是很难给出我认为的完满解答的。尽管有一些开放式题型，貌似没有统一答案，但历史上对这些问题早就形成共识，也是史实，教师如果不知道，学生就更难知道了，因为从教材里是找不到直接答案的，它们隐藏在数学知识的背后，需要教师在课堂上挖掘。

2. 一份试卷展示数学素养。

一（本题满分15分）请围绕下列问题谈谈你对实变函数的认识。

（1）实变函数为什么会产生？（至少要说明两个原因）

（2）Riemann积分与Lebesgue积分的思想方法有什么本质不同？（至少要阐述两点不同）

（3）实变函数给数学带来了什么影响？

二（本题满分10分）叶果洛夫说：“如果E是Rn中的有限测度集，fn, f都是几乎处处有限的可测函数，且fn→f a.e.，那么对任意的δ>0,都存在E的子集Eδ，使得m(E-Eδ)<δ，而在Eδ上，fn一致收敛到f。”

（1）叶果洛夫为什么要求mE<∞？这个条件是必须的吗？举例说明你的结论；

（2）叶果洛夫定理的重要性体现在哪里？

三（本题满分10分）请回答下列问题

（1）如果G是R中的开集，G的勒贝格测度有没有可能等于0？为什么？

（2）如果F是闭区间[a, b]的闭子集，且与[a, b]不同，F的测度有没有可能等于b-a？为什么？

四（本题满分10分）如果E是零测集，E的闭包一定也是零测集吗？证明或举例说明你的结论。如果E是离散点集呢？其闭包有没有可能具有正测度？为什么？

五（本题满分10分）

（1）假设E是可测集，f是E上的非负可测函数，若

∫Ef(x)dx=0，试证明：f(x)=0 a.e.。

（2）如果去掉（1）中f的非负性条件，∫Ef(x)dx=0可以用什么条件替代使得由此条件出发也可以推出f(x)=0 a.e.？

六（本题满分10分）假设fn是可测集E上的非负可测函数列，法杜引理告诉我们

∫Elimfndx≤lim∫Efndx，

关于非负可测函数序列的上极限有没有类似的结论？如果有，请证明你的结论，如果没有，请举例说明。

七（本题满分10分）设E1,…En是[0,1]中的n可测子集，若[0,1]内每一点至少属于这n个集合中的q个，证明：E1,…En中至少有一个集合的测度不下于q/n。

八（本题满分10分）假设f是E上的可积函数，c是任意常数，满足

0≤c≤∫Ef(x)dx。

(1).如果f是非负函数，是否存在E的可测子集E1，使得

∫E1f(x)dx=c？

(2).如果f是任意的可积函数，是否存在E的可测子集E1，使得

∫E1f(x)dx=c？

如果结论肯定，请证明你的结论，如果结论否定，请举例说明。

九（本题满分15分）设f在可测集E上非负可积，记

Ek={x∈E|f(x)≥k}, k=1,2,…,

是否必有∑km(Ek)<∞？证明或举例说明你的结论。