数学概念不清的危害有多大？

? ?记得曾经在石门中学搞同课异构时，有一些老师对我花了很多时间在条件概率的辨析上表示不解。可能不解的人还不是个别的，课时有限、应考压力大固然是原因，但我们真的搞清楚概念了吗？

? ? 今天我在高中数学教学群里发了吉米多维奇习题集中的两道习题，其中一道就是关于极值点性质的辨析，很快有老师找到了反例。

反例可以构造很多，而且有一定的规律性，肯定离不开震荡的函数，例如三角函数sin(1/x),但这个函数在零点没有定义，更别说可导，所以需要改造，最简单的改造方法是在它前面乘上一个函数把零点处的震荡吸收了，再补充定义在零点的函数值，使得在零点达到极值，但由于三角函数没有消失，震荡依然继续，只不过到零点时被别的快速收敛到零的函数压制了其振幅，然而不会改变函数震荡的特性，想通了这一点，反例便不难构造了。

? ?一位老师很快找出来一个反例：

? ? 有意思的是，这个老师又把一个定理的截图发出来了，问这定理是不是有问题，其实他找出来的反例已经回答了这个问题。

这就是教中学生的定理吗？有多少中学生能看出这个定理的问题？学生看到定理说得振振有词，会去质疑它吗？

? ?你还认为概念的辨析不重要吗？