等腰三角形面积公式(三角形面积公式一网打尽)

等腰三角形面积公式

一提起求三角形面积，大家都可以脱口而出“二分之一底乘高”，没错，这很简单也是其它衍生出来的面积公式的鼻祖。先来复习一下：

（公式1）三角形ABC的面积为 S= a * h / 2. 它是由矩形面积到平行四边形面积，再切割平行四边形推导而来，如下图所示，相信不用解释了：

（公式2） 直接由三角函数的定义推导，

但是，大家想象一下，在古时候经常会有测量土地的需求，求很大一块地方的三角形的高，或者求角或者正弦函数都不是一件容易的事，于是古希腊的阿基米德（公元前287年-公元前212年）就提出了只利用三角形的三边长就可以求出三角形面积的公式，由于这个公式最早被古希腊数学家海伦（公元62年左右）记载在他的著作《测地术》中，所以一般称为海伦公式（Heron's formula）。我国南宋时期的秦九韶也提出了海伦公式的等价公式，于是这个公式在我国又称为秦九韶公式。

（公式3 海伦公式）

A是Area, 面积， a,b,c是三边的长度，S是半周长（semiperimeter）

海伦公式可以由勾股定理或者三角函数证明，我们采用简单易懂的一种。

设底边a 被高h 分成 x 和 a-x两部分。

解方程可得

从而解出高h为

再带入三角形面积等于二分之一底乘高公式，化简整理可得海伦公式。

在给出第四个公式以前，我们先来看几个预备知识：

预备1： 同弧所对圆心角是圆周角的两倍。

如下图，弧BC所对的圆心角是∠BOC, 所对的一个圆周角是角是∠BAC. 由于∠BOD是等腰三角形AOB的外角，所以∠BOD = 2 ∠BAO. 同理，∠COD = 2 ∠CAO. 所以∠BOC = 2 ∠BAC.

预备2： （正弦定理）设三角形一边为a,对应角为A，三角形外接圆的半径为R, 则a = 2R sin∠A. 如图，∠A和∠D都是弧BC所对应的圆周角，都是∠BOC的一半，所以∠A = ∠D. 又直径BD对应的圆周角∠BCD=90度，所以a=BD sin∠D= BD sin∠A=2R sin∠A. 得证！同时，sin∠A=a/2R.

（公式4 ）三角形面积等于 abc/(4R). (R为外接圆半径)

证明： 由公式2， 三角形面积等于 (bc sin∠A )/2= (bc a/2R)/2 = abc/(4R)

(公式5) 三角形面积等于 (R为外接圆半径)

证明： 根据预备二的正弦定理，将a=2R sinA, b=2R sinB, c=2RsinC 代入公式4既得。

掌握了这些公式后，需要我们在解决具体问题时活学活用，选取最合适的公式来加快解题速度！

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