9的倍数的特征(“9的倍数的特征”教学探究)

9的倍数的特征
貌似法不同，实则理相通
——“9的倍数的特征”教学探究

在教学2、3、5的倍数的特征时，教师的常规做法是根据教材的编排要求，让学生先找出2、3、5的一些倍数，再通过观察获得发现，然后总结出2、3、5的倍数的特征，至于判断一个数是不是2或5的倍数，只要看个位上的数字就可以，而判断一个数是不是3的倍数，却要看各个数位上的数字之和的道理却不曾提及。学生学习数学，只有掌握知识的本质，才能真正将知识内化。于是，在学完3的倍数的特征后，教师引导学生对9的倍数的特征进行探究，让学生在明白道理的基础上掌握知识之间的联系。
一、听音辨数，让学生发现问题
“我根本不需要看，只用耳朵听，就可以判断一个数是不是9的倍数，你们相信吗？”教师的一句话，点燃了一堂课。“请一个同学在计数器上随意拨数，一颗珠子一颗珠子地拨，让老师能够清楚地听到每颗珠子拨动的声音。”在一声声惊叹中，学生的探究欲望被充分激发。“老师是听出来的，那你们猜猜，9的倍数与什么无关？与什么有关？”由于问题直击学生的困惑，他们竞相发表自己的见解。
生1：听不出是几位数，所以与数的位数无关。
生2：听不出珠子所落的位置，所以与数位也没有关系。
生3：虽然听不出每个数位上有几颗珠子，但能听到一共有多少颗珠子，所以9的倍数应该与珠子的总颗数有关。
生4：9的倍数是不是和3的倍数有着类似的特征？我猜测，一个数各个数位上的数字之和是9的倍数，这个数就是9的倍数。
很显然，学生在交流中得到启发，找到了一个非常有研究价值的问题，接下来就是通过检验为自己解惑。
二、设计路径，让学生善于探究
一条路跟着他人走十遍，也不及自己磕磕绊绊摸索一遍印象更深刻。基于这样的思考，教师提问：“这位同学猜测，一个数各个数位上的数字之和是9的倍数，这个数就是9的倍数，我们可以怎样进行研究，验证他的猜测呢？”学生开始认真思考，寻找研究的路径。
生5：我们准备利用数表找出9的倍数，把它们圈起来，再看这些数各个数位上的数字之和是不是9的倍数。为了避免特殊性，数表可以扩充到200以内，甚至1000以内。
生6：我们确定好珠子的总颗数，再任意拨出不同的数，可以是一位数、两位数、三位数、四位数……看拨出的数是不是都是9的倍数。
生7：我们打算在计算器上随机输入一个数，再乘9，将乘积每个数位上的数字加起来，看和是不是9的倍数。每个人尽可能多地研究一些数，全班同学加起来，那就有很多例子了。
探索是儿童的天性，教育就应该顺应这种天性，引导孩子们去发现。教师作为学生学习的伙伴，要在关键处为学生提供必要的帮助。学生们研究完后进行交流汇报。
生8：我们组同意这个结论。以162为例，162是9的倍数，1+6+2=9，9是9的倍数，数表中所有被圈出的数也全部符合这个规律。
生9：我们组也同意。我们组采用拨珠的方法，分别用9颗珠子、18颗珠子随意拨出了8个数——9，54，135，2223，198，99，2394，35721，每个数都用计算器验算了，都是9的倍数。
生10：我们举了很多例子，全部算过，都符合这位同学的猜测。 
三、挖掘深度，让学生学会类比
数学课堂中，教师要引导学生透过现象，由表及里，把握数学知识的本质，才能将知识理解透彻。
师：刚才我们虽然用不同的办法研究了很多例子，都符合“一个数各个数位上的数字之和是9的倍数，这个数就是9的倍数”这一猜想。问题是，自然数的个数是无限的，有没有可能，有一个数我们没有研究过，刚好就不符合这个规律呢？
生：是啊，很有可能！
师：那我们有必要换个角度研究这个问题。（出示珠子图）18中的1和1+8中的1意思一样吗？
生11：不一样。18中的1表示1个十，十位上拿走9颗珠子，剩下1颗珠子。剩下的1颗珠子与个位上的8颗珠子合在一起，也就是1+8，得9个一，正好分完，所以18是9的倍数。
师：你们还会联想到其他的数吗？
生12：1个百，9个9个地分，分完剩下1个一；类似地，1个千，9个9个地分，分完也剩下1个一；每个数位上的数是几，那这个数位上的数9个9个地分，分完就剩下几个一。
结合学生的作品和交流的过程，教师简化成类似的等式：135=100+30+5=（9×11+1）+（9×3+3）+5，判断1+3+5即可。
师：假如任意一个四位数[abcd]呢？
生13：四位数[abcd]，我们可以这样理解，[a]在千位上，即有[a]个1000，它可以分成999个[a]和1个[a]；同理，[b]和[c]也可以这样拆分。运用加法结合律，前面部分已经是9的倍数，不需要考虑了，所以判断这个四位数是否为9的倍数，只要考虑后部分也就是各个数位上的数字之和是否为9的倍数。这样就不存在特例了。
学生们从经验出发，通过举例表达、图示表达、符号表达，由不完全归纳到完全归纳，疑点步步被消除，思维逐渐清晰，在深度思考中感受数学的简约灵动之美。
四、借助铺垫，让学生敢于拓展
除了让学生掌握本节课的知识，教学还应当引发学生进一步学习的欲望。教师继续铺垫，让学生进一步探究与数的倍数特征有关的知识。
师：发现了9的倍数特征，你还想研究什么问题？
生14：为什么3的倍数也是根据各个数位上的数字之和来判断呢？
生15：为什么2和5的倍数是根据个位来判断，不用看各个数位上的数字之和呢？
师：这些问题都非常有价值。大家课后可以想办法再研究4、8、25、125的倍数的特征，还可以试试研究7、11、13等其他数的倍数的特征。相信通过今天的学习，你一定能行！
数学课的设计，应符合学生的认知规律，善于找准基点，引发学生的深度思考，帮助他们去伪存真，抓住数学知识的本质。这样一来，学生才能真正成为学习的探索者，实现“貌似法不同，实则理相通”的思维提升。

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