等腰三角形公式(【数理之路】三角形面积公式以及三角函数正弦和角公式)

等腰三角形公式
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三角形面积公式

三角形的面积是相邻两边以及它们夹角正弦值三者乘积的一半。如下图，这是三角形面积的另外一个计算公式。下图最后一个结论，在直角三角形中，直角是∠C。

全等三角形的判定有一个判定简称为SAS，也就说一个三角形只要两边以及它们的夹角是一定的，这个三角形形状就不会改变，否则无法判定全等；既然这个前提下三角形形状不变，则其面积不变，并且与这三个量有关。

下面我们先来证明这个公式。证明之前声明一点，三角形两边的夹角可以是锐角、直角或者钝角，高中阶段学习了任意角的三角函数后，就会了解到不是锐角的角也有三角函数，到时可以同样证明；本文为了在初中范围内证明这个结论，只证明夹角是锐角的情形，如下：

同理，我们容易得到下面类似的结论：

平行四边形面积

平行四边形的面积等于相邻两边与夹角正弦值三者的乘积。

平行四边形这个面积公式的推导，可以同上面三角形面积的推导一样，通过平行四边形一边上的高与另一边以及夹角的关系；也可以作平行四边形的一条对角线，将平行四边形割成两个全等的三角形，然后利用上面三角形面积公式，容易得到结论。同学们不妨一试。

?正弦和角公式

在【数理之路】初中范围推导三角函数倍角正弦公式中，我们通过构造图形，推导出三角函数的相关公式，下面我们将用同样的方法，构造图形推导三角函数另外的一个公式，虽然公式适用于任意角，但同样只在初中范围内推导。我们要推导的公式是

结合锐角三角函数的定义，当直角三角形的斜边为1时，两条直角边可以用直角三角形某个锐角的正弦和余弦表示。为此我们特意构造两个斜边均为1的直角三角形，两条直角边所在的直线是同一条，并且一个顶点重合，如图：

不妨设AC<AE，（AC>AE同理可证；AC=AE 时，?ABD为等腰三角形，情况显然，我们在文末再加以说明。）

AB=AD=1，∠ACB=∠AED=90°，

∠CAB=α，∠EAD=β，

则 AC=cosα，BC=sinα，

AE=cosβ，DE=sinβ，

由该图联想到sin（α+β）、sinαcosβ、cosαsinβ的面积意义，可连接BD、CD、BE，其中BD与AE交点为F，α+β 为锐角；

由上面推导的三角形面积公式，容易得到：

另一方面：

因此只要能够证明S?ABD=S?AEB+S?ACD①，

即可证明sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ 。

①式成立，只需S?BEF=S?CDF 即可。

由 ∠ACB=∠AED=90°，

可得 CB∥ED，

故S?BCE=S?BCD，

从而S?BEF=S?CDF，

因此 sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ 证毕。

最后，我们证明AC=AE 时，?ABD为等腰三角形 的情形，也算是对【数理之路】初中范围推导三角函数倍角正弦公式中构造等腰三角形的一种补充证明。

当AC=AE 时，α=β，

sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ

即sin2α=2sinαcosα，

此时∠BAD=α+β=2α，

又S?ABD=2S?ABC，

得

即

故sin2α=2sinαcosα 证毕。

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